浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 如图，比数轴上点表示的数大2的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（ ）
A B. C. D.
4. 一个布袋里装有个红球、个黄球和个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（ )
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而增大B. 该函数的图象与轴有交点
C. 该函数图象经过点D. 当时，的取值范围是
10. 已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_____．
12. 某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：
则这7天最高气温的中位数是__________℃．
13. 不等式组的解集是______．
14. 如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是______（只需添加一个你认为适合的条件）．
15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是__________
16. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为______．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：．
18. 化简：．
19. 如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求长．
20. 为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．
被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
21. 如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．
小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
22. 周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
23. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
24. 如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．
（1）若，，求．
（2）若为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
2025年初中学业水平适应性测试（1）
数学试题卷
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 如图，比数轴上点表示的数大2的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大2的数是；
故选：C．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
2. 基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
3. 如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 一个布袋里装有个红球、个黄球和个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（ )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出袋子中球的总个数及确定红球的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：袋子中球的总数为2＋3＋5＝10，而红球有2个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为2÷10＝．
故选：C．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．点的对应点为，
∴与的相似比为，
∵B点的坐标为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
6. 已知一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据弧长计算公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
；
故选B．
【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
7. 如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，，由圆周角定理得，又，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可得出木头的长度是或尺，结合木头的长度不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，
∴木头的长度是尺；
∵将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺，
∴木头长度是尺，
∴根据题意得可列出方程，
即．
故选A．
9. 根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而增大B. 该函数的图象与轴有交点
C. 该函数图象经过点D. 当时，的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的性质，对函数的图象与性质类比反比例函数进行排除即可，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：由，
∴、当时，随的增大而减小，原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴该函数的图象与轴没有交点，原选项错误，不符合题意；
、当时，，
∴该函数图象经过点，原选项错误，不符合题意；
、当时，，
∵当时，随增大而减小，
∴当时，的取值范围是，原选项正确，符合题意；
故选：．
10. 已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以，，然后用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
设，，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
故选：．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】，
故答案为：a（a+2）．
【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．
12. 某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：
则这7天最高气温的中位数是__________℃．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
13. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
14. 如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是______（只需添加一个你认为适合的条件）．
【答案】或或（任性一个即可）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加，可由证明；
添加，可由证明；
添加，可由证明；
故答案为：或或．（任性一个即可）
15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；
根据是的直径，可得，再根据对角互补可得，再结合三角形内角和定理即可求解
【详解】解：是的直径，
，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
故答案为：
16. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积比的相关知识点，掌握知识点的应用是解题的关键．
由菱形性质得，，，又和，设，，则，易求，再解可得，然后根据折叠可知，结合，建立方程求出，证，求出和，进而求出，最后证，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，，则，
在中，，
∴，
如图，过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由折叠性质可知：，
∴，解得：，
∴，，，
由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴相似比为，
∴与 的面积之比为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先通过化简绝对值，求算术平方根，负整数指数幂运算，然后合并求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 化简：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
19. 如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定和性质得到，由勾股定理求出，得到，由锐角三角函数得到，由勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴
20. 为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．
被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
【答案】（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
（2）估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
【解析】
【分析】本题考查了主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体的思想，读懂图表，获取信息是解题的关键．
（）先求出本次被调查的人数有（人），然后再乘以最喜爱羽毛球所占百分比即可求解；（人），
（）先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数人，再根据样本估计总体即可计算该校最喜欢“篮球”的学生人数．
【小问1详解】
解：本次被调查的人数有（人），
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
【小问2详解】
解：由（）得：本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
21. 如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．
小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】（1）①正确；②正确
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质和尺规作图：
（1）①先由直角三角形的性质得到，则由等边对等角和平行线的性质证明，再证明得到，由作图方法得到，进而得到，据此可得结论；②可得垂直平分，则，进而得到，进一步证明，则可证明，则，据此可证明四边形是菱形；
（2）同（1）证明即可．
【小问1详解】
解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22. 周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【小问1详解】
解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
【小问2详解】
根据题意，点E坐标为，A点坐标为，
则点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
【小问3详解】
线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程
23. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．
（1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当时，，由二次函数的对称轴为直线，可得当或时，，求出的取值范围；
（3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，解得，
二次函数表达式为；
【小问2详解】
解：，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当时，，
二次函数的对称轴为直线，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
【小问3详解】
解：由（2）可得的对称轴为1，
且抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
24. 如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．
（1）若，，求．
（2）若为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
【答案】（1）
（2），见解析．
【解析】
【分析】（1）作于，由等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理求出的长，即可求出；
（2）由圆周角定理和平行四边形的性质先证，得出，可求的度数；
由圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证得四边形为矩形，由可知，则矩形为正方形，可得，解直角三角形，可知．
【小问1详解】
解：作于，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
【小问2详解】
解：为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
．
证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
即．
，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余，解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
日期
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
最高气温/℃
27
32
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28
29
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