云南省昆明市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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这是一份云南省昆明市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：莫利琴审题：王佳文
总分：150分时间：120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
2. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
3. 已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
4. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6. 在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
7. 在四边形中，已知，若，则长度为（）
A. 4B. C. 5D.
8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列命题一定成立的有（）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
10. 将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）
A. 为奇函数B. 的最小正周期为
C. 与在上均单调递减D. 函数在上有5个零点
11. 在△ABC中，，，F是AC中点，则下列说法正确的是（）
A. 若，点D在线段BC的延长线上，则
B. 若E是AB中点，BF与CE相交于点Q，则
C. 若，则的值是
D. 若E是线段AB上一动点，则为定值
第II卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则______.
13. 在中，，，，是的内心，则向量在向量上的投影为________．
14. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间；
（3）若，求的值.
16. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积.
17. 如图所示，四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
（1）求证：；
（2）若，求周长的取值范围．
19. 假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标．
（1）若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标．
（2）在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证：
①
②
（3）在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值．