四川省峨眉第二中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川省峨眉第二中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回， 函数在一个周期内的图象可以是等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A. 与共线B. 与不共线
C. 若，则D. 若，则是一个单位向量
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量满足，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
7. 函数在一个周期内的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 若在上恰有三个零点，则的取值范围是
C. 当时，上单调递增
D. 若在上的最小值为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知，则__________.
13. 已知，，若，则实数的值为______．
14. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16. 设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若的最大值为，求的值.
18. 如图，点、分别是角、终边与单位圆的交点，.
（1）若，，求的值；
（2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.
19. 在锐角中，，，点为的外心.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
峨眉二中高2024级高一下期3月考
数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A. 与共线B. 与不共线
C. 若，则D. 若，则是一个单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.
【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；
根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；
故选：D.
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．
【详解】因为角的终边经过点，
则.
故选：D.
3. 已知单位向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出.
【详解】因为，
所以．
故选：C
4. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.
【详解】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
5. 已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】代入进行线性运算即可.
【详解】，
则在基下的坐标为.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数化简可得.
【详解】.
故选：C
7. 函数在一个周期内的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数的图象可由向左平移个单位得到，结合周期可得结论.
【详解】因为，
所以函数图象可由向左平移个单位得到，
又最小正周期为，所以只有C符合.
故选：C.
8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，判断每个选项的向量是否共线即可得到答案.
【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底；
B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底；
C选项：，两向量共线，不能作为一组基底；
D选项：，两向量共线，不能作为一组基底.
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】利用周期，带点求出解析式，再利用变换解题即可.
【详解】A.，故A正确；
B.，，由图知，
则，即，
因，故，则，
当时，，故，故B错误；
C.新函数，因，故C正确；
D.新函数，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 若在上恰有三个零点，则的取值范围是
C. 当时，在上单调递增
D. 若在上最小值为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数对称性的结论判断A；求出函数其中的2个零点，可知在上只有一解，从而求得a的范围，判断B；根据复合函数的单调性的判断可判断C；将函数的最值问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解，即可判断D.
【详解】由题意知
，
对于A，
，即的图象关于直线对称，A正确；
对于B，由，得或，
由于在上有2解，即，，
结合在上恰有三个零点，可知需在上只有一解，
由于在上单调递增，在上单调递减，且，
故要使在上只有一解，需或，B错误；
对于C，当时，，
令，，，则在上单调递减，
而图象对称轴为，该函数在上单调递减，
故在上单调递增，C正确；
对于D，令，，，
则化为，
该函数图象对称轴，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，，
综合上述在上的最小值为，则，D正确，
故选：ACD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时将函数最值问题转化为二次函数的最值问题，分类讨论进行求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】将已知等式平方后结合同角的三角函数关系可得.
【详解】，
即.
故答案为：.
13. 已知，，若，则实数的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故答案为：
14. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用平面向量的几何意义，结合图像即可得到答案.
【详解】由,可得，且，即.
作，
如图所示，则，，均正三角形，且，

由，得，
化简可得，，所以在直线上.
由图像可知，，所以，
可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以.
如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然，
此时的最小值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将两边平方，求出，即可得解；
（2）首先求出，再由同角三角函数基本关系计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
，所以，
即.
【小问2详解】
因为，所以，又，所以，
则
，
所以
.
16. 设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.
（2）根据向量平行的结论，求参数的值.
【小问1详解】
由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
【小问2详解】
由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若的最大值为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可得出函数的最大值，即可求出实数的值.
【小问1详解】
.
所以，函数的最小正周期为.
【小问2详解】
当时，，
故当时，函数的最大值为，解得.
18. 如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.
（1）若，，求的值；
（2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；
（2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，则，
又，则，又，
所以.
【小问2详解】
因为，、在单位圆上，
则，，，所以，，
则，
即.
19. 在锐角中，，，点为的外心.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证出，设出与的夹角为，计算得到，由可得，即可证得结论；
（2）计算出的外接圆半径为1，可得，求出角的取值范围，结合余弦函数的性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
由，则，则，即，
设，
所以，
即，
又，
而，，
所以，
令与夹角为，则，即，
即，所以，得证.
【小问2详解】
因则,即，
，其中，，且为锐角，故，
因可得,则，.
又由解得：
因，而函数在上单调递减，在上单调递增，
又由
故，则，
于是，
即的范围为.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为模的平方，与向量数量级联系，并灵活应用；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的结论要熟记：如等.