上海市西中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市西中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。
一、填空题：（每题3分，3·12=36分）
1. 直线的倾斜角是____________．
2. 抛物线的准线方程为______．
3. 事件A与事件B是独立的，且，则________.
4. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s．
5. 将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有____________种．
6. 两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示）
7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________．
8. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
9. 直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间距离为____________．
10. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________.
11. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______．
12. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
二、选择题（每题4分，4·4=16）
13. 直线必过定点（ ）
A. B. C. D.
14. 设函数在处存在导数为，则（ ）
A. B. C. D.
15. 若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A 0B. 4C. 8D. 12
16. 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）

A. B.
C. D.
三、解答题（8+12+12+16）
17 设．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
18. 已知函数．
（1）当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程．
（2）若函数在处有极值，求函数的极值．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最大值．
20. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成．
（1）若，求的值；
（2）设，、分别为与轴左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小；
（3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围．
上海市市西中学2024学年度第二学期期中考试
高二数学
2025.4
一、填空题：（每题3分，3·12=36分）
1. 直线的倾斜角是____________．
【答案】##0
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可得结果.
【详解】易知直线的斜率为0，
设倾斜角为，其中，
由，可得.
故答案为：
2. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出准线方程．
【详解】由抛物线，可得，
抛物线的准线方程为，
故答案为：．
3. 事件A与事件B是独立的，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】因为事件A与事件B是独立的，且，
所以.
故答案为：
4. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，则，
即质点在时的瞬时速度为m/s．
故答案为：
5. 将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种．
【答案】6
【解析】
【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案.
【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种.
故答案为：6
6. 两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示）
【答案】
【解析】
【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案.
【详解】因为直线的斜率为，
直线的斜率为，
设两条直线的夹角为，则，
因为，所以．
故答案为：
7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得：
4-k>06+k>06+k>4-k，解得：.
所以的取值围为：.
故答案为：.
8. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案.
详解】由函数，可得，则，
即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
9. 直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算.
【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即，
因直线与直线平行，则，得，
则直线与之间的距离为.
故答案为：
10. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可.
【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1，
所以的平均值为，方差为，
所以，，所以.
故答案为:
11. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.
【详解】由题意得在上恒成立，
，故，
即，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，
故，故a的最小值为.
故答案为：.
12. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
【答案】
【解析】
【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解.
【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误；
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
则是的极小值点，②正确；
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
则是的极大值点，③正确，④错误.
故答案：
二、选择题（每题4分，4·4=16）
13. 直线必过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线分离参数为，令，可得定点.
【详解】根据题意，直线，
即，
令，得，
故直线必过定点.
故选：B
14. 设函数在处存在导数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.
【详解】因为函数在处存在导数为，
所以，
所以.
故选：D
15. 若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A. 0B. 4C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案.
【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即，
所以ABD错误，C正确.
故选：C
16. 已知函数，其导函数图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解．
【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内，
导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减，
所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭，
在区间,内越来越平缓，故选项符合题意．
故选：B．
三、解答题（8+12+12+16）
17. 设．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
【答案】（1）
（2）6561
【解析】
【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得.
（2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可
【小问1详解】
令，
得，解得，
所以
【小问2详解】
当时，
令，得，
令，得，
即，
所以
18. 已知函数．
（1）当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程．
（2）若函数在处有极值，求函数的极值．
【答案】（1）、、；
（2）极大值为；极小值为.
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可；
（2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值.
【小问1详解】
当时，，
当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意；
当直线斜率存在时，设，
联立，得，
因直线与曲线有且仅有1个公共点，
则，得或，
则直线的方程为：或
综上，符合条件的直线方程为、、.
【小问2详解】
由，得，
因函数在处有极值，则，得，
则，，
则得或；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则极大值为，极小值为．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案；
（2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案.
【小问1详解】
函数的定义域为，则．
因为时，由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为．
【小问2详解】
当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，．
综上所述：.
20. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成．
（1）若，求的值；
（2）设，、分别为与轴左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小；
（3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3），离心率的取值范围
【解析】
【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解；
（2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得；
（3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得.
【小问1详解】
将分别代入与可得，解得，因为，所以；
【小问2详解】
由题设，．
、坐标分别为、，即为的两个焦点．
因为，所以点只能在上．
由双曲线的定义，可得，故．
在中，，
故；
【小问3详解】
由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点．
由圆的圆心到直线的距离，
得与相切，即与有且仅有一个公共点．
由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于．
由点坐标为方程组的实数解，解得
由与相切，得，直线的方程为，
代入圆的方程，解得点的坐标为．
于是，由，即解得．
．