辽宁省鞍山市高新区2024-2025学年九年级下学期3月中考模拟数学试题（解析版）

这是一份辽宁省鞍山市高新区2024-2025学年九年级下学期3月中考模拟数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，此选项符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从左边看这个几何体，看到的图形为
故选：A．
3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选B．
4. “抖空竹”是典型的基础性节律性运动项目，深受广大人民的喜爱．图1是“抖空竹”时的一个瞬间，小莉把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ）
A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°
【答案】C
【解析】如图，延长，交于，
∵，，
∴，
∵，∴．
故选：C．
5. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由表格得：
时，，
时，，
的一个解的范围为：．
故选：C．
6. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形是（ ）
A. 正方形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】A、正方形是中心对称图形，又是轴对称图形不符合题意；
B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、直角三角形不是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?若设甲经过日相逢，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：，
故选：C．
8. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】根据对称轴为，即，，故①正确；
根据图象可得，当时，，即，故②正确；
开口向下，，
抛物线与轴交于正半轴，，，故③正确；
由图象可的点，
或中，，故④不正确．
故正确的个数为3个，
故选：C．
9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形，∴，∴四边形是菱形，
∵四边形的周长是16，∴，
∵点M，N分别是、的中点，
∴是的中位线，∴，故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝12，则k的值为（ ）
A. ﹣12B. ﹣
C. ﹣16D. ﹣12
【答案】C
【解析】∵，∴设BD=5a，CD=4a，OC=b(a>0，b>0)，
∴D(-4a，b)，B(-9a，b)，
过E作EF⊥轴于F，
∵OA•EF=，∴，
∴EF∥AB，∴△OEF△OBA，
∴得：OF=，∴E(，)，
∵点D，点E在反比例函数y＝的图象上，
∴，即，
解得：或(舍去)，∴，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每题3分）
11. 使式子有意义，则x的取值范围是_________________．
【答案】x≥且x≠1
【解析】式子有意义，则：，
解得：且.
12. 已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为_________．
【答案】或
【解析】以原点为位似中心，把缩小为原来的，可以得到，点的坐标为，
点的坐标是或，即或．
13. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，五个点均在格点上，，，则与的面积比为______．
【答案】
【解析】，，，，
，与的面积比．
14. 2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】数据59.14亿用科学记数法表示为．
15. 如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点．则的长度为________．
【答案】
【解析】由作图可知，平分，
∵，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，，
∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
过A点作交的延长线于G，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）原式；
（2）原式
．
当时，原式．
17. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．）
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
解：（1）设每本文学名著元，每本人物传记元，，解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）设购买人物传记本，文学名著本，
，解得：，
为整数，，
∴人物传记至多买33本．
18. 某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）．
请根据统计图，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的总人数为 人．
（2）在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ．
（3）活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．
解：（1）（人）．
∴这次抽样调查的总人数为120人．
故答案：120；
（2），
∴“书法”所在扇形的圆心角度数为．
故答案为：；
（3）列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种．
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
19. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则，解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，
配方得：，
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
解：（1）过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，
∵，∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），∴此时水桶B上升的高度为米．
21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
（1）证明：如图，连接，

是的直径，，
平分交于点E，，
，，
，，
是的半径，与相切；
（2）解：如图，连接，，

，，，
，是等边三角形，，
，
，，，
，
，
，是的直径，，
．
即的长为．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积．
（1）解：选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于
∵，
∴，，
∴.
∵交延长线于，∴，
∴，
又∵绕点旋转至，∴，
∴，∴，.
∵，∴.∴.
∴，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∴，
∴.
选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴.
∴.
∵，，
∴.即.
又∵，
∴
.∴
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴，
∵，
∴.
，，
∴.
（2）证明：如图.过作于，过作于.
∵，，
∴，
又∵.
∴.
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∴
在和中，，
∴.
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
（3）解：如图，在边上截取，连接.
由题意得，，.
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴.
又∵，
∴.
∵，，，
过作于，则，
∵，
∴.
根据勾股定理得，.
∴
23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）．
例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点．
（1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________；
（2）点的1级变换点在直线上，求b值；
（3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点．
①设点，求n与m的函数关系式；
②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围．
解：（1）点的1级变换点是，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：2；
（2）当时，即，
点的1级变换点是，
∵点在直线上，
∴，
解得；
当时，即，
点的1级变换点是，
∵点在直线上，
∴，
解得，不符合题意舍去．
所以b的值是7；
（3）①当时，即，
则点在函数的图象上，
∴，
即；
当时，即，
则点在函数的图象上，
∴，
即．
∴n与m的函数关系式为；
②如图所示，，
当时，；
，
当时，；
当时，线段与图象只有一个交点；
，
当时，；
，
当时，．
当时，线段与图象只有一个交点．
故答案为：或．
6.17
6.18
6.19
6.20
0.02
0.04
男1
男2
女1
女2
男1
（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）