湖南省岳阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省岳阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，所以．
故选：A．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】将命题的量词改变，并否定结论即得：
命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4. 已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若关于的不等式有解，
当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零，
当时，则，
则关于的不等式有解不能推出，
若，
当时，关于的不等式一定有解，
当时，关于的不等式有解，
所以能推出关于的不等式有解，
所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数的图象知，则，
所以函数为增函数，
且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位，
所以函数的大致图象是C选项.
故选：C.
6. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，函数上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】D
【解析】由题意，设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，则易得：，
即，两边取对数，
可得，
故至少需要通过16块这样的玻璃.
故选：D.
8. 已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④.
同时满足，由②可得；由③可得；由④可得.
综上可得：实数a的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的最大值为2
D. 函数的单调递减区间为
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点成中心对称图形，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以函数的最大值为2，故C正确；
对于D，令，
解得，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知实数a，b，c，m，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为
D. 若，且，则的最小值为
【答案】AB
【解析】对于A，由可知，故可得，即A正确；
对于B，由，
因，，可得，故有，即B正确；
对于C，依题意，是方程的两根，且，
则得，解得，
于是不等式即，解得或，
故其解集为，故C错误；
对于D，由，且可得或，解得或，
因，故，则，当且仅当时等号成立，
但当时，不满足，故等号不成立，即的最小值不是，故D错误.
故选：AB.
11. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由为奇函数，得，即，
由偶函数，得，则，
，于是，
因此函数是偶函数，且当时，单调递减，
对于A，，则，A正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
则，，即，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数（且）的图象过定点______．
【答案】
【解析】当时，，则其所过定点为.
13. 已知分别是方程与的实数解，则的值为______．
【答案】10
【解析】由可得，由可得，
不妨记，
依题意，为与的交点的横坐标，
为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下：
因函数与是一对反函数，图象关于直线对称，
而直线与直线垂直，故也关于直线对称，
则点与点也关于直线对称，
故得，化简得：，即.
14. 已知函数，，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】因，，，
则由，解得：，
即函数的定义域为，
设，则，且在上单调递增，
故当时，即时，；当，即时，，
因，故函数的值域为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明．
解：（1）因为，，所以，
得，，所以.
（2）因的定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数．
16. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由题意得角的终边与单位圆O相交于，
所以．
（2）因角的终边与单位圆O相交于，
故，
则
．
17. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为．
（1）求的表达式；
（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少．
解：（1）依题意，当时，设，
因，解得，
，.
（2）当，
，
当且仅当时等号成立；
当时，在上为减函数，
故得.
又，所以当时，需要提供的面包数量最少．
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
解：（1）由图象可知，周期，，
因为点在函数图象上，所以，即，
又，，则，即，
因为点在函数图象上，所以，即，
故函数的解析式为.
（2）由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，所以最大值为.
19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”．
（1）试判断函数与是否为“速增函数”；
（2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围；
（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
解：（1）对于函数，
当，时，有f1m=m>0，f1n=n>0；
因为，所以，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．
对于函数，
当时，有f2m+f2n=2lg23>2=f2m+n，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．
（2）因为是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：当时，gn=2n-1+2a2-n-1>0恒成立①；
当，时，恒成立②．
由①可得：对一切正数n恒成立
又因为当时，，所以对一切正数n恒成立，故得．
由②可得：gn+m-gn+gm>0，
即对一切正数n，m恒成立．
因为
，
所以，
又因为当，时，，所以，
由对一切正数n，m恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
（3）由函数为“速增函数”，可知对于任意正数m，n，
都有，，且，
令，可知f2m>2fm，即f2mfm>2，
故对于正整数k与正数m，都有f2kmfm=f2kmf2k-1m⋅f2k-1mf2k-2m⋅⋅⋅f2mfm>2k．
对任意，可得，又，
所以fx>fx-2k-1+f2k-1>f2k-1≥2k-1f1=2k2>x2，
同理，
故．