湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

这是一份湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，
则.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”的否定是.
故选：C.
3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由的图象关于原点对称，为奇函数，
对于A，，排除A，
对于C，非奇非偶，排除C，
对于D，易知在区间上单调递增，排除D．
通过排除法，符合条件的只有B.
故选：B.
4. 用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】用弧度制可表示为，
所以与角的终边相同的角构成的集合为.
故选：D．
5. 已知，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】利用指数函数单调性由“”得到“”，
当时，满足，推不出来，故是不充分条件；
又当时，满足，推不出来，故是不必要条件.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则．依题意得：，对恒成立．
显然时，恒成立．当时，．
而在上单调递减，
∴时，即时，，∴．
故选：A．
7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（ ）（参考数据：）
A. 11分钟B. 10分钟C. 9分钟D. 8分钟
【答案】B
【解析】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟，
∴，即；
设水温从降至，需要的时间为t分钟，
∴，即，
∴，
∴，
∴水温从降至，大约还需要10分钟．
故选：B．
8. 已知函数的图象关于直线对称，，当时，都有设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，当时，，
由可得，则函数在上单调递增．
又函数的图象关于直线对称，
由函数图象平移变化可知，函数是定义在R上的偶函数，
则．
由于函数在单调递增，即比较三个数的大小．
，
注意到，因为，所以，
∴，∴．
因为，所以，
∴，∴，所以．
∴，即．
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 函数（且）的图象必过定点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的最小正周期是
【答案】AC
【解析】对A选项，设，则，得．
∴，故A错误；
对B选项，，故B正确；
对C选项，，则，单调增区间为，故C错误；
对D选项，的周期为，故D正确．
故选：AC.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若．且，则
C.
D.
【答案】ABD
【解析】对选项A，分子分母同除以得，
即，故A正确；
对选项B，∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．故B正确；
对选项C，
，故C错误；
对选项D，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若在区间内恰有一个零点，则
B. 若在区间内恰有一个零点，则或
C. 若在区间内有零点，则
D. 若在区间内有零点，则
【答案】BD
【解析】对A选项，B选项，在内恰有一个解．
当时，显然不是的解，
当时，
可化为与，恰有一个交点．
设与恰有一个交点，由图知，
或，∴或，故B正确，A错；
对C选项，D选项有零点在内有解，
与有交点，由图得：，故D正确，C错．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，即的取值范围为.
13. 求值：________．
【答案】1
【解析】
．
14. 已知，若存在实数a（且），，当时，都有，则实数b的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由，得（假设），
设，
由题意得存在a使在R上为增函数，
故，故，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）；
（2）已知，求．
解：（1）原式
.
（2）由题意得：，∴．故．
∴，即.
16. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在0～6小时内随时间（单位：h）的变化曲线如图所示．当时，可选择用函数来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画随变化的规律．
（1）当时，求这段曲线的函数解析式；
（2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：）
解：（1）由题意知，当时，函数过点，代入得．
所求曲线的函数解析式为.
（2）当时，令，解得．
当时，令，两边同时取常用对数得：，
∴，解得，
∴．
故病人一次性服用药物，持续有疗效时长约为3.50小时．
17. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称．
（1）求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；
（2）若，且，求的值．
解：（1）∵函数的最小正周期是，
∴，则．
将的图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
∵为奇函数，，即．
∵，∴，∴，
令，则；
又令，则．
∴的图象的对称中心的坐标为，
对称轴的方程为．
（2）若，则．
而在上递增，在上递减，
若且，则，可得，
∴.
18. 已知函数，是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围．
解：（1）∵是定义在R上的奇函数，
∴，解得．
经检验时，是奇函数．所以．
（2）在R上单调递增．证明如下：
任取，且，
则．
由，及函数为增函数可得：，
∴，得，
∴在R上单调递增．
（3）由（2）的结论易知在上单调递增．
因为函数在上的值域为，所以，
即关于x的方程有两个不等实根．
令，则关于k的方程有两个大于1的不等实根.
故函数与的图象有两个不同交点.
作出函数的图象，
由图可知，
故实数t的取值范围为．
19. 阅读材料：
某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念：
设连续函数的定义域为区间，
如果，都有，则称为区间上的凹函数；
如果，都有，则称为区间上的凸函数．
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：
若是区间I上的凹函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）；
若是区间I上的凸函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．
小组成员询问老师，得到了如下评注：
在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时，关键是构造函数．
解决下面问题：
（1）已知A，B，C分别为的三个内角，直接写出的最大值（不用写出解题过程）；
（2）判断二次函数在R上的凹凸性，并说明理由：
（3）若是一组实数，且（为定值），试求的最小值．
解：（1），理由如下：
由在上的图像可知其为凸函数，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号.
（2）当时，为凹函数；当时，为凸函数．
理由：任取，
，
当时，，由条件得，为凹函数；
当时，，由条件得，为凸函数.
（3）由（2）知，时， 为R上的凹函数，
由题意构造，
则有：
，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为.