湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（解析版）

这是一份湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】由题意得，，
即直线的斜率为，
所以直线的倾斜角的正切值为，
则直线的倾斜角为.
故选：C.
2. 已知双曲线：的离心率为，则的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得，双曲线：是焦点在轴的双曲线，
所以，，所以，
解得，所以，所以焦点坐标为.
故选：D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，
故点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A.
4. 设数列满足，则（ ）．
A. 4B. 4C. D.
【答案】D
【解析】由，则，则，
，则.
故选：D.
5. 已知函数,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,令,
,,
故选:A.
6. 设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】设公差为，由题意可得，
即，
解得舍去，或，所以，
可得.
故选：C.
7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），
，此时点到直线距离.
故选：D.
8. 已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点坐标为，
由题意可知，，，
则，，，.
在中，由余弦定理可得：，
即，解得．
因为，则．
因为，
所以，解得．
又因为点P在双曲线，所以，
则.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知分别为直线方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件，
故A、B正确；
若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A. 焦点的坐标为
B. 过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C. 直线与抛物线相交所得弦长为8
D. 抛物线与圆交于两点，则
【答案】ACD
【解析】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确.
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误.
对于C，，
弦长为，故C正确.
对于D，，
解得（舍去），交点，有，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 有两个极值点
B. 有两个零点
C. 若，则
D. 若方程有两个根，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：由，
得．
令，得，两边取自然对数整理得，
设，
则，
当时，单调递减，且；
当时，，单调递增，且；
可知函数有两个变号零点，所以有两个极值点，故A正确．
对于选项B：由选项A可知，在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以可作出函数的大致图象如图所示，
所以只有一个零点，故B错误；
对于选项C：由选项B可知在0,1上单调递增，
当时，，所以，故C正确；
选项D：根据选项B中函数的大致图象可知，若方程有两个根，则或，故D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与垂直，则实数__________.
【答案】2
【解析】直线的斜率，的斜率，，得．
13. 函数​的最小值为_____.
【答案】
【解析】的定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
.
14. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_______________.
【答案】18
【解析】由知：或.
当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，则，解得；
当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
，则，解得：（舍）；
若数列是等差与等比的交叉数列，又，；
若要最小，则，，，，
，，，，，，
，，，，，，，
，此时，故最小值为18.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点，，且直线平分圆的周长.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程.
解：（1）由，
为线段的垂直平分线的方程.
由，即圆心.
又
所以圆的标准方程为.
（2）过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线和圆交于，两点.
若，由圆的弦长公式，可得，
解得或，
所以直线的方程为或.
16. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且.
（1）求证：.
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
（1）证明：连接，四边形是正方形，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面，.
（2）解：由（1）知，，，
，，两两垂直如图，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，
平面，平面的一个法向量为，
设，，，
，
设平面的法向量为，则，
取，则，，平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的正弦值为.
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题设当时，，
所以，得，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）若，不等式恒成立，
则，，
当时，对于，f'x≥0，所以在上单调递增，
所以时，，即满足题意；
当时，若，则f'x