湖南省多校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省多校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B．
2. 若函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，得，则，则．
故选：C．
3. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为与均为定义在上的奇函数，
所以，
又因为的定义域为且关于原点对称，
且，
所以为偶函数，故图象关于轴对称且，
符合要求的只有选项B，
故选：B.
4. 若函数满足，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】令，得，解得．
故选：D．
5. 若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（ ）
A. 67B. 68C. 69D. 70
【答案】C
【解析】依题意可得对一切实数都成立，
当时，对一切实数都成立；
当时，需满足，解得．
综上，，整数的个数为69．
故选：C
6. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得，所以的定义域为．
因为与在上均为增函数，
所以在上为增函数，所以，
即函数的值域为.
故选：A.
7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 18B. 14C. 12D. 10
【答案】A
【解析】由正数，满足，得，则，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值为18．
故选：A．
8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不妨假设，由，得，则在上单调递减，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（ ）
A. B. C. 0.8D. 5
【答案】BCD
【解析】由图可知，在上单调递增，所以或，
所以的取值范围为．故A不符合题意，BCD符合题意.
故选：BCD.
10. 设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】若，则，得为“循环函数”，故A正确；
若，则，得不是“循环函数”，故B错误；
若，则，得为“循环函数”，故C正确；
若，则，得为“循环函数”，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】由，，则不等式 ，令，
则，
又，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
则，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当，即时，等号成立；
故，当且仅当时，等号成立；所以，解得，
因此可得的最小值为，的最大值为，
故选：AB.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知命题：，，则的否定为__________．为__________．（填入“真”或“假”）命题．
【答案】；真
【解析】的否定为，
，是增函数，则，故为真命题．
故答案为：；真.
13. 设集合的真子集的个数为__________．
【答案】31
【解析】依题意，，所以集合的真子集的个数为.
故答案为：31
14. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，定义域为，
则，故是奇函数．
不等式等价于不等式，
即不等式．
因为是奇函数，所以．
因为均是上的减函数，所以是上的减函数，
则，即，解得．则的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求.
解：（1）由题意得，则，
所以.
（2）由题意得，
因为，所以.
由，得且，
所以，解得（舍去）.
16. 已知函数的图象经过点，函数．
（1）证明：，均为幂函数.
（2）判断函数的奇偶性，说明你的理由.
（3）若，求的最小值.
解：（1）因为函数的图象经过点，
所以16，解得，
所以，所以均为幂函数.
（2），由解得或，
所以的定义域为，定义域关于原点对称.
因为，所以为偶函数.
（3）因为，所以，且，
所以，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17. 梅州金柚､德庆贡柑､信宜三华李､紫金春甜桔､连平鹰嘴蜜桃､阳春马水桔､云安沙糖桔､高州储良龙眼､从化荔枝､徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
记顾客购买的金柚重量为，消费额为元.
（1）求函数的解析式.
（2）已知甲､乙两人商量在这家网店购买金柚，甲､乙计划购买的金柚重量分别为.请你为他们设计一种购买方案，使得甲､乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额.
解：（1）当时，；
当时，；
当时，.
故
（2）当甲､乙两人分开购买时，消费总额为元.
当甲､乙一起购买时，消费总额为元.
因为，所以甲､乙一起购买12kg的消费总额最少，此时的消费总额为111元.
18. 已知函数，，
（1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．
（2）当时，写出的单调区间．
（3）若在上为单调函数，求的取值范围．
（4）求函数的最大值与最小值之差．
解：（1）当时，．
设是区间上任意两个实数，且，
则，于是，
由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减．
（2）当时，
所以hx的单调递增区间为，hx的单调递减区间为．
（3）
由，得或．
由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
因为在上为单调函数，所以在上为增函数，
所以，即的取值范围是．
（4）由，得，
即．
当时，，则；
当时，，则，解得且．
综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为．
故的最大值与最小值之差为5．
19. 对于个集合，定义其交集：；
定义其并集：.
（1）若，求，；
（2）若，，
且，求的最大值.
解：（1）因为，
所以，则，
.
（2）因为，
所以，，则.
又，
所以当时，；当时，.
若，则由，可得，不等式恒成立.
若，则由，可得，解得.
因为，且，所以的最大值为12.
购买的金柚重量
金柚单价元
不超过的部分
10
超过但不超过的部分
9
超过的部分
8