湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了 设函数则， 函数的图象大致是， 已知不等式的解集是，则， 已知，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则，
所以，
又，所以.
故选：C
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义，必须，解得且，则函数的定义域为，
故选：D．
3. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，故，又成立，故，
又因为，所以，
所以，
因为，所以．
故选：B.
4. 幂函数是偶函数，且在上是减函数，则的值为（ ）
A. ﹣6B. 1C. 6D. 1或﹣6
【答案】B
【解析】∵幂函数是偶函数，且在上是减函数，
∴，且为偶数
或
当时，满足条件；当时，，舍去
因此：
故选：B
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
函数的定义域为，因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
6. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.
7. 已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数是R上的偶函数，所以关于对称，
当时，恒成立知，
函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
故选：D.
8. 设函数，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，由，可得，，
解得，则；
当时，由，可得，解得，则.
综上所述，由，解得，
当时，由，可得，，解得，则；
当时，由，可得，显然成立，则；
当时，由，可得，，
解得或，则.
综上所述，，解得.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 已知不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由不等式的解集是，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，可得，所以A错误，C正确；
由，可得，所以D正确；
又由，令，可得，所以B正确.
故选：BCD.
10. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值B. 的最小值为1
C. 的最小值D. +的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由，则，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，由，则，
由，
则当时，取得最小值，故B错误；
对于C，由，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，设，解得，
由，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A. 函数满足：
B. 函数的值域是
C. 对于任意的，都有
D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形
【答案】AC
【解析】由于，
对于选项A，设任意，则；
设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确，
对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误，
对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确，
对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误，
故选：AC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.
【答案】
【解析】当时，，则，因为函数为奇函数，
所以，即.
所以当时，.
故答案为：.
13. 已知函数在区间上有最小值，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】二次函数的对称轴为，
当时，函数在上为增函数，故最小值为即，符合题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
故最小值为不合题意舍；
当时，此时函数在为减函数，
故最小值为即，符合题意；
综上，或.
故答案为: 或.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，由对任意的，当时，有成立，得在上单调递减，因此函数在上单调递增，由，
得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合.
解：（1）当时，.
由,得,则
或， 所以或
（2）有题意得,
则得,
所以的取值集合为
16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
解：（1），由题意可知，解得；
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
17. 若函数是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上是递减函数；
（3）若，求实数的范围.
（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，又因为，所以解得，
当时，，
经检验，此时满足，即函数为奇函数，符合题意，
所以，所求函数的解析式为
（2）证明：设，则，
因为，所以，
所以，即，
则函数在上是递减函数
（3）解：因为，即，
又因为由（2）知函数在上是递减函数，
所以，即，解得，
所以，所求实数的范围为
18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）解：由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
19. 已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.
（1）判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；
（2）若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（3）是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
解：（1）由题知，函数，定义域为，
所以，
不妨设，因为，
所以，所以，
所以是利普希兹条件函数
（2）若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，
均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，所以，所以的最小值为．
（3）由题意得在上恒成立，
即，
不妨设，所以，
因为，所以，所以.