山东省淄博第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省淄博第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 已知，则， 已知向量满足，且，则， 设是不共线的两个非零向量．等内容，欢迎下载使用。
1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
6 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
7. 在中，内角对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D. 2
二､多选题
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，则是钝角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为等腰三角形
11. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. ，频率为，初相为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上的值域为
D. 若把图像上所有点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是
三､填空题
12. 已知，则__________.
13. 如图，在中，，，，，，则______.
14. 已知，，则___________..
四､解答题
15. 已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
17. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数单调递减区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围.
19. 已知在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
2025淄博六中3月数学月考试卷
一､单选题
1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平移变换的规则可得正确的选项.
【详解】函数，其图象可由的图象左移个单位长度而得，
故选：C．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
3. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式.
【详解】根据题意，设，
由题意可知，为第一象限角，且，
又因，则，，
函数的最小正周期为，
所以，
所以点的纵坐标与时间的函数关系为.
故选：C.
4. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
5. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
6. 已知，则（ ）
A B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.
【详解】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
8. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
故当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
二､多选题
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量共线坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，
因此，C错误；
对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，则是钝角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断即可.
【详解】对A：由，所以有两解，故A正确；
对B：由余弦定理：，
所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确；
对C：因为三角形为锐角三角形，
所以，即，故C正确；
对D：因为，由正弦定理得：，
所以或，即或，
所以为等腰或直角三角形，故D错误.
故选：ABC
11. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. ，频率为，初相为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上的值域为
D. 若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.
【详解】由图象可得，
频率是，
即，
，
对于A，，初相是，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
在上的值域为，故C正确；
对于D，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，
又向左平移个单位，得到的函数为，故D正确；
故选：BCD.
三､填空题
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】平方后利用同角的基本关系化简求出，再求，即可得解.
【详解】两边平方得：，
所以
解得，代入，解得，
所以，
故答案为：
13. 如图，在中，，，，，，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用向量线性运算可得，进而得到，根据平面向量基本定理可求得结果.
【详解】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.
故答案为：4
14. 已知，，则___________..
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦函数的性质判断得的取值范围，从而求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，则，
因为，所以，
所以，
则
.
故答案为：.
四､解答题
15. 已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模.
（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.
【小问1详解】
由向量，得，且，
由与的夹角为，得，解得，则 ，
于是，所以.
【小问2详解】
由（1）知向量，
则，
由与夹角为锐角，得且与不共线，
由，解得且，
所以实数的取值范围为.
16. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
由，
得，
，
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
【小问2详解】
由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线两个非零向量，因此，
解得，或，
实数k的值是.
当时，与反向共线
17. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以.
又因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可.
（2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得.
（3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解.
【小问1详解】
函数，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
【小问3详解】
当时，，由，得，
则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程在有两个根，
所以的取值范围.
19. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范围为.