山东省日照实验高级中学2024-2025学年高一下学期阶段性测试一（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省日照实验高级中学2024-2025学年高一下学期阶段性测试一（3月）数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合要求.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 函数的周期为（ ）
A. 2B. C. 4D.
3. 函数的图象可由函数的图象
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
4. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则等于
A. B. C. D.
7. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.则下列叙述错误的是（ ）
A B. 函数有3个零点
C. 的最小正周期为D. 的值域为
8. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与角终边相同的角的集合可以表示为
B. 若为第一象限角，则为第一或第三象限角
C. “”是函数的一条对称轴
D. 若，都是第一象限角，且，则
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A. B.
C. 函数为偶函数D.
11. 关于函数的叙述正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是偶函数
C. 的最大值为2D. 在上有4个零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________.
13. 当时，函数的最小值是_________．
14. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和__________．
15. 已知向量，，．
（1）若，求，值；
（2）若向量满足，，求的坐标．
16. 已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
17. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值
18. 已知函数图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
（1）求的解析式.
（2）若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值.
19. 已知函数.
（1）设，若在上的值域为，求实数，的值；
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.
2023级高一下学期阶段性测试一
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合要求.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式求解.
【详解】 ，
故选：C
2. 函数的周期为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切周期公式计算求解即可.
【详解】函数的周期为.
故选：A.
3. 函数的图象可由函数的图象
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由函数，再由伸缩平移变换可得解.
详解：由函数.
只需将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到；
再向右平移个单位得到：.
故选B.
点睛：1．利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的是y＝sin的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位应得到y＝sin 2(x＋)，即y＝sin(2x＋)的图象．
2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．
4. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.
【详解】根据题意：
又
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得.
【详解】，，
，，
，
.
故选：C.
6. 已知，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.则下列叙述错误的是（ ）
A. B. 函数有3个零点
C. 的最小正周期为D. 的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】根据“高斯函数”的定义，结合余弦函数的性质逐一分析即可判断.
【详解】对于：，故正确；
对于：当时，，此时，
即是函数函数的零点，
同理当时，，即，
即也是函数函数的零点，
所以函数有无数个零点，故错误；
对于：在上，，
易得的最小正周期为，故正确；
对于：由知的值域为，故正确.
故选：.
8. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与角终边相同的角的集合可以表示为
B. 若为第一象限角，则为第一或第三象限角
C. “”是函数的一条对称轴
D. 若，都是第一象限角，且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由判断A，由确定的象限判断B，由判断C，取特殊角判断D.
【详解】对于A项，由可知A错误；
对于B项，因为为第一象限角，所以，则，即为第一或第三象限角，B正确；
对于C项，由可知，是函数的一条对称轴， C正确；
对于D项，若都是第一象限角，且，则，D错误；
故选：BC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A. B.
C. 函数为偶函数D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项判断即可.
【详解】观察图象得，，函数的最小正周期，解得，
由，得，又，则，
因此，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，，
即，函数不偶函数，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
11. 关于函数的叙述正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是偶函数
C. 的最大值为2D. 在上有4个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，化简函数解析式即可判断；对于B，偶函数定义即可判断；对于C，由，当时两等号可同时成立即可判断；对于D，由函数在上的零点结合偶函数性质即可得函数在上的零点.
【详解】对于A，当时，，
所以在区间上单调递减，故A错误；
对于B，函数定义域为R关于原点对称，且，
所以是偶函数，故B正确；
对于C，，当时两等号同时成立，所以的最大值为2，故C正确；
对于D，当时，，
令得或，又是偶函数，
所以当时，的解为或，
所以函数在上有3个零点，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】把圆心角化为弧度数，然后由面积公式计算．
【详解】（弧度），
所以，
故答案为：．
13. 当时，函数最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，求得的范围，再利用二次函数的性质求解．
详解】当时，，
函数，
，
，
故当时，函数y取得最小值为，
故答案为：．
14. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，分析出这两个函数的图象都关于点对称，并作出这两个函数的图象，结合对称性可求得结果.
【详解】设，，
当时，，即，
所以，函数的图象关于点成中心对称，
，即，
所以，函数的图象也关于点成中心对称，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两个函数图象共有个交点，形成对关于对称的点对，
因此，两个函数所有交点的横坐标之和为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查两个函数图象交点的横坐标之和，解题的关键就是找出两函数图象的对称性，结合对称性来求解.
15. 已知向量，，．
（1）若，求，的值；
（2）若向量满足，，求的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）由结合已知条件可得，从而可求出，的值；
（2）设，求出，的坐标，再由‖和，列方程组，从而可求出的值，进而可得的坐标
【详解】解：（1）向量，，，
由，所以，
所以，解得；
（2）设，则，，
由‖，且，
所以，
解得或，
所以或．
16. 已知,且.
(1)求值;
(2)求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先求出，代入即可.（2）化简求值即可.
【详解】因为，所以
，即
解得：
又,所以
则
（2）
【点睛】此题考查三角函数的化简求值，注意诱导公式的使用，属于简单题目.
17. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
【小问1详解】
，
，故余弦距离等于；
【小问2详解】
；
故，，则.
18. 已知函数图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
（1）求的解析式.
（2）若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式；
（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.
【小问1详解】
由的相邻两条对称轴的距离是，则，，
，
函数的图像关于原点对称，，所以
【小问2详解】
令，则所以
若有两解，即在上有两解，
由的图象可得，，即
，
的取值范围是.
在上有两个不等的解，，
则，所以.
19. 已知函数.
（1）设，若在上的值域为，求实数，的值；
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数在上的值域，再换元借助一次函数的单调性及给定值域求出.
（2）由（1）中信息，按为偶数、奇数分类，借助恒成立求出范围.
【小问1详解】
当时，，，即,
令，则，
令，．依题意，，
当时，在上递增，因此，解得，
当时，在上递减，因此，解得，
所以或．
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
当为偶数时，．
当时，，则；
当为奇数时，，
当时，，则，
所以实数的取值范围是.