山东省实验中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省实验中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的图像开口向下，，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
3．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
5．若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
6．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机事件，，则（ ）
A．B．若，则A，B独立
C．若，则，互斥D．若，则
10．若函数，则（ ）
A．的图象是中心对称图形B．在上单调递减
C．的极小值点为D．有两个零点
11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（ ）
A．第10行所有数字的和等于1024
B．第10行所有数字的平方和等于
C．若第n行的第i个数记为，则
D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为 ．
13．某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有 种（用数字作答）
14．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列.
(1)求的值.
(2)记，求被除的余数.
16．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
17．已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，求的取值范围.
19．已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S．
（i）求证：函数在上具有性质S；
（ii）记，其中，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以，解得或，
又函数的图像开口向下，所以.
故选C
2．【答案】A
【详解】因为，所以，
因为在处有极小值，则，
故，解得或，
当时，，则，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意；
当时，，则，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故选A.
3．【答案】B
【详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个
当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同
满足题意的五位数共有：个
本题正确选项：
4．【答案】A
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为直线与曲线相切，切点为，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，
可知直线的方程为，
所以，两式相除，可得，
所以.
故选B.
6．【答案】D
【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，
则，
，则.
故选D．
7．【答案】B
【详解】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选B
【思路导引】对于含有函数的不等式比较问题，通常需要构造函数，通过新函数的单调性实现对实数的比较。本题的关键就是构造出，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不等式.
8．【答案】B
【详解】∵函数在上有两个不同的平均值点，
令，
∴方程在有两个不同的根，
即在有两个不同的根.
令，，
∴直线与函数的图象在上有两个交点.
则，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
且，，
故，又，故符合题意的只有B.

故选B.
9．【答案】AB
【详解】A．，故A正确；
B．，得到，则，独立，故B正确；
C．设样本空间，事件，事件，
此时，但，不互斥，故C错误；
D．设样本空间，事件，事件，
则事件，此时，
但，，，故D错误；
故选AB．
10．【答案】ABC
【详解】函数中，，解得或，
即函数的定义域为，
对于A，，
因此函数为奇函数，函数图象关于对称，A正确；
对于B，又，当时，；
当时，，即在上单调递减，在上单调递增，B正确；
对于C，由奇函数的对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
因此的极小值点为，极大值点为，C正确；
对于D，由选项B知，函数在有最小值，
因此函数在上无零点，由称性知函数在上无零点，D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，由图分析知，杨辉三角的第n行是的展开式中二项式系数，，
所以，第10行所以数字的和为，A对；
对于B，由，则，
所以，对于含项，左侧为，右侧为，
所以，第10行所有数字的平方和，B对；
对于C，第行的第个数为，则，故，C对；
对于D，由，
所以，三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，
时，三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而，
综上，且时三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，D错.
故选ABC.
12．【答案】5
【详解】二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，
所以所求系数为5.
13．【答案】65
【详解】在一号食堂就餐的同学有1个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝，
就餐情况共有有种
综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种.
14．【答案】
【详解】由题设，即，
令，则，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，故在R上单调递增，
由恒成立，有在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
综上，，故其最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和，
由题意有，即，整理得，
因为，解得.
（2）因为，
所以，
，
所以能被整除
因此，被除的余数为.
16．【答案】(1)，；
(2)证明见详解
【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到
把代入得，
因为，所以，即；
，则；
（2）由第（1）问知，，
令，求导得，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
，，当x趋于时，，所以存在唯一使，即，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，所以，
，又，，
根据零点存在定理可得在和各有一个零点，共两个零点，
设是零点，，
经计算，
所以也是零点，零点和为.
17．【答案】(1)分布列见解析；
(2).
【详解】（1）由题意，随机变量，则，，，
所以的分布列如下，
（2）记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是对应事件分别为，
第二次摸到的是3号球为事件，则，，
所以.
18．【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导函数值大于0、小于0的解集.
（2）由（1）的信息，求出的最小值，再证明，构造函数并利用导数证明不等式.
（3）求出函数的导数，由极值点的意义求得，再计算并整理，构造函数，借助导数探讨单调性即得.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，当时，函数在取得最小值，
要证，只需证明，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以当时，，即成立.
（3）函数的定义域为，求导得，
由函数有两个极值点，
得方程在上有两个不等实根，
设，对称轴为，，
则，且，，
即；
，
令，由，得，即，解得，
令，求导得，
因此函数在上单调递减，，即，
所以的取值范围是.
【思路导引】导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.
19．【答案】(1)
(2)（i）证明见详解 （i i）证明见详解
【详解】（1），，，
，，
令，，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，，
①若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，此时，，
又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，
存在，使得，且当时，，
在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）（i）由（1）可知，当时，.
要证函数在上具有性质.
即证：当时，.
即证：当时，.
令，，则，
即，当时，，
所以在上单调递增，.
即当时，，得证.
（ii）要证：.
显然，当时时，，结论成立.
只要证：当，时，.
即证：当，时，.
令.
所以，令，
则，令，
则，在上单调递减，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，.
所以当，时，，有
所以当，时，.
所以.0
1
2