上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了填空题.，单选题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 用或填空：0______.
【答案】
【解析】由于空集不含任何元素，∴．
2. 指数幂值为________．
【答案】
【解析】由.
3. 已知全集，集合，集合，则________．
【答案】
【解析】由题设.
4. 设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为是的一个充分条件，则，
所以，
则的取值范围是.
5. 关于与的二元一次方程组的解集为________．
【答案】
【解析】由消去可得：，
可得：，，所以解集为.
6. 已知，，则________.
【答案】
【解析】由题设，，
根据换底公式，则.
7. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线），
结合图象可知：.
8. 偶函数在区间上的最大值为，则实数________．
【答案】
【解析】因为是偶函数，则，则，
又在区间上的最大值为，且当时，，
所以，解得.
9. 若对任意，都有，则实数的最大值为________.
【答案】
【解析】根据绝对值不等式.
对于，这里，，则.
当且仅当时等号成立，所以的最小值是.
因为对任意，都有恒成立.
这就意味着要不大于的最小值.
而最小值是，所以，那么实数的最大值就是.
10. 设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】先分析函数在区间上的图象，已知，
方程在区间上有两个不同的解，
意味着直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点.
由上述分析可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点.
实数的取值范围为.
11. 已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】，
所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到，
又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，
所以，解得.
12. 已知函数在上是增函数，，，且对任意，均有，则________．
【答案】
【解析】因为，那么.
已知函数是上的增函数，且，.
因为，令，可得.
令，则，所以.
由于函数在上单调递增，且，
所以当时，.
又因为，所以.
将代入，可得.
二、单选题.
13. 下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为，
对于A：易知，定义域为，错；
对于B: ，定义域为，对；
对于C：，定义域为，错；
对于D：，错.
故选：B.
14. 如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知图象可知当时，，
当时，，
而函数在底数时为的单调增函数，
在底数满足时为的单调减函数，.
故选：A
15. 大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（ ）．
A. 2415B. 2053C. 2871D. 3025
【答案】C
【解析】由题意可得，两式相除得，两边取对得，
所以，则，可得，
由，则，可得，
两边取对得，
则m.
故选：C.
16. 定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设定值，且，
所以，则，易知，故，
由，则，显然在第一象限有一个交点，
又在上分别单调递增，单调递减，
由，，，故方程解在上.
故选：C.
三、解答题.
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）已知集合，当时，，即.
等价于，所以集合.
对于集合，这是一个分式不等式.
分式不等式等价于.
解不等式，可得，所以集合.
由前面求出的，，
所以.
（2）由集合，解不等式可得，
即，所以集合.
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.
则有（等号不同时成立）.
解第一个不等式，得；解第二个不等式，得.
综上，实数的取值范围是.
18. 已知．
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
（2）设、是方程的两个根，若，求实数的值.
解：（1）由题意，在R上恒成立，则，
所以，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）由题设，、是方程的两个根，
则，，，
由，即，
所以，可得或.
经验证，或均满足，
所以或.
19. 已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数．
（1）求的值，并证明：是上的严格增函数；
（2）判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由．
解：（1）由是定义域为的奇函数，则，
任取，则，又在上是严格增函数，
由，即，
所以是上的严格增函数，得证.
（2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下：
对于，
由在、上都单调递增，且，函数满足题设，
但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数，
所以函数不一定是上的严格增函数.
20. 已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：．
（1）计算的值，并说明其的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
解：（1）由函数的解析式可得：，
其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量.
（2）①当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
②当时，.
当且仅当时等号成立，
故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元．
21. 已知．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值；
（3）设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围．
解：（1）由题设，则且，即，
所以函数的定义域为.
（2）由，则有唯一解，
所以，而在定义域上单调递增，
则有唯一解，而，
所以，即，此时，
又且，则，显然、时满足，
所以.
（3）当，，在上的最大值与最小值的差都不超过，
由在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，则，
所以，则在上恒成立，
由，显然时，，
若，，则，
而在上单调递减，
故在上单调递增，
所以，故参数范围为.