安徽省皖南八校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

这是一份安徽省皖南八校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知向量，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为，则，
所以在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 三棱台C. 四棱锥D. 三棱柱
【答案】C
【解析】如图，在三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥.
故选：C.
3. 是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由得，由三点共线，得，
又不共线，则，所以.
故选：A.
4. 已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（ ）
A. 7B. C. 9D. 10
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理，得，
因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，
于是得，解得，显然9适合题意，
故选：C.
5. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】向量在向量上的投影向量为，
解得，所以，解得.故选：A.
6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，因为，所以，
在中，由正弦定理，得，
由题意得20，
在中，由余弦定理，得，
故两点之间的距离为.
故选：D.

7. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ）
A. 36B. 38C. 40D. 42
【答案】B
【解析】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，
表面积分别为.
故选：B.
8. 已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】过点作，垂足分别为，
因为是外接圆的圆心，则为的中点，
则，
由正弦定理得，
等号当且仅当时成立，
则，
所以的最大值为.
故选：C
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. 能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C.
D. 的夹角为
【答案】ABD
【解析】由，可得，所以不共线，
所以能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确；
由，所以，
所以，所以，故B正确；
，所以，故C错误；
，故的夹角为，故D正确.故选：ABD.
10. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
【答案】BD
【解析】对于A，令，则，不满足，故A错误；
对于B，设，若，则，
所以，即，故B正确；
对于C，令，则不是实数，不能比较大小，故C错误；
对于D，设，
易知，
又，所以，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的侧面积为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥可以整体放入半径为的球内
D. 该圆锥可以整体放入边长为的正方体中
【答案】ABD
【解析】对于A：因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为，所以圆锥的侧面积为，故A正确；
对于B：设圆锥底面半径为，则，解得，
圆锥的高，母线长，圆锥体积，
故B正确；
对于C：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为，
过点的轴截面如图1，为外接球球心，则，解得，故C错误；
对于D：过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图2，此平面到顶点的距离为体对角线的一半，即为，
平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，
以该圆作为圆锥的底面，点为顶点即可得到圆锥.故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
【答案】
【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为，
由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，
则解得
.故答案为：
13. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则的面积为__________.
【答案】
【解析】在直观图中，，取的中点，连接，
则，而，于是，
则，由斜二测画法规则作出，如图，
，
所以的面积为.故答案为：
14. 有长度分别为的线段各1条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的四边形，如图，，则组成的四边形面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】连接，由余弦定理知，，
，.
又
.
又.
故
，
当且仅当时等号成立，
故四边形面积的最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.
15. 已知复数和它的共轭复数满足.
（1）求；
（2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
解：（1）设，
则，
所以，解得，
故.
（2）是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，
.
16. 记的内角的对边长分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
解：（1）因为，
所以由正弦定理得，
化简得，
因为，即，所以，
得，因为，
所以，又，
所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，
所以，所以的面积为.
17. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.

（1）求圆台的体积；
（2）在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？
解：（1）由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，
设圆台的高为，则，所以，
所以圆台的体积为.
（2）在梯形中，，即母线长为3.
如图，由圆台性质，延长交于点，
由与相似，得，即，解得.
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则，所以，
在侧面展开图中，连接，则从点到的最短路径为线段，
又在中，，
由余弦定理得，
所以.
验证知，由，得，
此时，恰与扇形弧所圆相切于点，满足题意.

18. 在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
（1）当时，求的值；
（2）当时，与交于点，求的值；
（3）求的最小值.
解：（1）由已知当时，，
所以，，
所以，
因为，所以，
.
（2）当时，，即为的中点，
因为三点共线，
设，则
，
因为三点共线，
设，则，
又不共线，
根据平面向量基本定理得解得
所以，又，则
所以.
（3）因为，，
所以
，
由（1），又，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”.
（1）若，证明：.
（2）已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：.
（3）在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求.
（1）证明：因为，由题意得，
所以，即，
因为为非零向量，所以.
（2）证明：因为，
所以，
同理，
因为，
所以.
（3）解：因为，
所以，
所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，解得,由，，解得，
故，
所以.