山东省临沂市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题（解析版）

这是一份山东省临沂市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题（解析版），共14页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
则，则.
故选：D.
2. 若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，举例，此时，故充分性不成立；
当，根据指数函数单调性得，则，故必要性成立，
则“”是“”必要不充分条件.故选：B.
3. 若命题“，”是真命题，则可能等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由题意得，
因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意.
故选：D.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，则，
此时，定义域为，，
则为奇函数，满足题意，
.
故选：A.
5. 随机变量，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
解得，所以.故选：B.
6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 48
【答案】C
【解析】设剩下的两人分别为丁和戊，
①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素，
丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站，
则共有种；
②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法，
丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站，
则该种情况共有种，
则总共有种不同安排方法.
故选：C.
7. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，.
当时，，
若即，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，.
又函数的值域为，所以，（）；
若即，函数在上单调递增，所以，.
又函数的值域为，
所以（）.
综上可知：或.
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
因为在上单调递增，则，
则，显然，
则，
则，即，结合知.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
C. 设随机变量，，则
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【解析】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据方差与原数据方差相同，故A正确；
对B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，，故B错误；
对C：根据正态分布的对称性知，故C正确；
对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故D正确.故选：ACD.
10. 已知（，，），且，则（ ）
A. B.
C. 存在，使得D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，，所以，故A正确；
对于B，，，所以，可得，同理可得，
又因，所以，故，，故B正确；
对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误；
对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确.故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A. 存在实数使得
B. 当时，有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 若曲线有两条过点的切线，则
【答案】AC
【解析】对A，根据已知的导函数，令
则，令，
，当时，
根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确；
对B，根据题意知，令得到，
在和上，
所以在和单调递增，
在上，所以在单调递减，
是的极大值，且的极大值大于极小值，
，
，
所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误；
对C，令，该函数定义域为R，
且，
所以为奇函数，是的对称中心，
将向下移动两个单位得到的图像，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对D，过的切线的切点为，切线斜率为，
则切线方程为，
把点代入可得，化简可得，
令，
则，令可得或，
在和上大于零，所以在和上单调递增，
在上小于零，所以在单调递减，
要使有两个解，一个极值一定为，
若函数在极值点时的函数值为，可得，
所以
若函数在极值点时的函数值为，可得，
所以，故D不正确.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在二项式展开式中，常数项为__________.
【答案】60
【解析】由题意，二项式展开式的通项为
，
令，可得，即展开式的常数项为.
故答案为：.
13. 某校举行乒乓球比赛，决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为，那么在甲获胜的条件下，第1局甲输的概率为_________．
【答案】
【解析】甲获胜记为事件A，甲第一局输后获胜记为事件B，
甲获胜可以三局获胜概率为，四局获胜概率为，五局获胜概率为，所以甲获胜概率为，
第一局甲输的概率是可以分为两种情况，最终甲四局获胜概率为，
最终甲五局获胜概率为，
故第一局甲输最终甲获胜的概率，
则所求概率为.
故答案为：
14. 已知，，，则y的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，则，令，，
令，解得，可得下表：
当时，；当时，.
由题意可知：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且．
（1）求的定义域；
（2）求不等式的解集．
解：（1），
，解得，
，
由解得，
故的定义域为.
（2）由（1）知，，
在上单调递增，且其恒大于0，则函数在上单调递减，
在上单调递减，
又，不等式可化为，
，即，不等式的解集为.
16. 某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下：
（1）求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数；
（2）公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表：
根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？
附：
，．，．
解：（1）由表中的数据可知，，
，
，
所求回归直线方程为.
当时，，
该小区8月份对这款App不满意人数估计为45人.
（2）零假设为:对这款App是否满意与性别无关联.
由表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即可以认为成立，即对这款App是否满意与性别无关联.
17. 袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为,经过2次变换后的函数记，
…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换．
（1）若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
（2）记，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（1）第一次从袋中摸出的是白球，
把函数变换为，
第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为，
所以.
（2）经过3次变换后，有4种情况:
若摸出的3个球都是白球，则；
若摸出的3个球为2个白球、1个红球，
则；
若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则；
若摸出的3个球都是红球，则；
所以随机变量的可能取值为.
因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为，
故，
，
，
.
所以所求随机变量的分布列为
所以，.
18. 刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,曲线的曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,若记,则函数在点处的曲率．
（1）求函数在点处的曲率；
（2）已知函数存在两个不同的点,,使得在，处的曲率为0，
（i）求的取值范围；
（ii）当时，证明．
解：（1），
，
在点处的曲率为.
（2）(i)，
，
存在两个不同的点，使得的曲率为0，
即有两个不同的解，
即有两个不同的解，
，
令，得，令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，
又当时，恒成立，且时，，
.
(ii)由得，
要证明:，只要证，
而，
令，则，欲证，
只要证:，
即即可.
令，
，
在时单调递增，
则，
，即，
.
19. 设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值．
（1）若，求；
（2）若，
（i）求且的概率；
（ii）已知，求随机变量的均值．
解：（1）当时，集合的非空子集的个数为，
其中这些子集中最大元素为4的集合个数为，
.
（2）（i）当集合中的最大元素和最小元素分别为8，2，
元素个数最少时，
元素个数最多时为7元素集，
集合的可能情况有个；
当时，集合的非空子集个数为个；
且.
（ii）当时，集合的非空子集个数为511个，
其中，最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个，
最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个，
最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个，
.
最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个，
最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个，
，
.极大值
月份
1
2
3
4
5
不满意人数
110
95
90
85
70
性别
满意度
满意
不满意
男性
15
15
女性
21
9
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879