安徽省滁州市2025届高三下学期第二次教学质量监测数学数学试题（解析版）

这是一份安徽省滁州市2025届高三下学期第二次教学质量监测数学数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式的解集为，
所以，
又，则，
则.
故选：B.
2. 已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
则，
其实部为，虚部为，
故实部与虚部之积为，
故选：A.
3. 已知为的重心，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得.
故选：B.
4. 函数所有零点之和为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】由或可得或或或，
故函数的零点之和为，
故选：C.
5. 已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】设数列的公比为，
则，
又，则，即，
又，
即，解得，
又，则，
所以，，
故选：C.
6. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选：A
7. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，该函数的定义域为，，
由可得或，由可得，
且当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为、，增区间为，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的增区间为、，减区间为，
因为，则，
因为，即，
接下来比较与的大小，
作差得，
所以，，因此，.
故选：D.
8. 如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
取中点，中点，连接，，，，
由是等边三角形，是等腰直角三角形，，
则，，，
又，，
，，平面，
所以平面，
所以平面平面，平面平面，平面平面，
又平面，且平面，平面平面，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，
则作出平面如图所示，
设，
则，
所以，
又，，
则，
由，
所以，，，
设过点作与，分别交于点，，
则即为两平面间距离，
，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ）
A. B.
C. 与相互独立D.
【答案】ABD
【解析】随机事件A，B满足，，，
又，
所以，故D正确；
又，
所以不相互独立，故C不正确；
，故A正确；
因为，所以，
所以，故B正确.
故选：ABD
10. 已知函数，，，则（ ）
A. 和的图象有且只有一条公切线
B. 若恒成立，则整数的最大值为
C. 若、均大于，则
D. 关于的方程在区间内有解
【答案】BC
【解析】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，
设直线切函数于点，切函数于点，
因为，则，所以，，
切线方程为，即，
因为，则，所以，，
切线方程为，即，
所以，，消去可得，解得或，
所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；
对于B选项，若，则，
因为函数，其中，则，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，即，可得，
且当时，，当时，，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，，
由题意可得，故整数的最大值为，B对；
对于C选项，
，
因为、，则，，所以，，
所以，，
所以，，C对；
对于D选项，当时，，则，
所以，函数在上单调递增，则，
，则对任意的恒成立，
所以，在单调递减，则，
当时，对任意的，，
所以，关于的方程在区间内无解，D错.
故选：BC.
11. 已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ）
A. 关于原点对称
B. 若圆与有公共点，则
C. 存在轴上方的两点，使得
D. 若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A项，设曲线上任意一点为，则关于原点的对称也在曲线上，所以关于原点对称，故A项正确.
对于B项，不妨设，则曲线，要使圆与有公共点，则，得，因为有解，且，当且仅当时等号成立，所以，其他象限同理可证，故B项不正确.
对于C项，不妨设曲线上任意一点为，则关于轴的对称也在曲线上，所以曲线关于轴对称，此时的张角可取到最大或最小，对于，，设过两点，与曲线相切的直线斜率为，同理可得，此时，
所以，因为，所以存在轴上方的两点，使得，故C正确.
对于D项，设曲线上任意一点为，则点到轴的距离，设直线为，点到直线的距离，又因为，代入得，当时，为定值，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则______．
【答案】0.3
【解析】因为体重近似服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
所以，
则，
所以，
故答案为：0.3.
13. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意设，
由椭圆定义，
所以，
设，
对应用余弦定理可得，可得，
对应用余弦定理可得，可得，
又，代入并化简可得，
所以，，
所以离心率.
故答案为：.
14. 已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则______．
【答案】
【解析】因为的图象关于直线对称，故，
故（为常数），
令，则，故，
故，
而，故，
所以，所以，
所以，故，
在中令，则，
故
，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表：
由于表格受损，只能看到部分数据．
（1）求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率；
（2）为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率．
解：（1），
月用电量在区间内的居民用户有户，
所以月用电量不低于的居民用户有户，
其频率为．
（2）月用电量在区间，，的居民用户各有户，
按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户，
从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率．
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：连接交于点，连接．
在菱形中，，
因为，为的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以．
在菱形中，因为，故，
又，，所以，所以．
又因为点和点分别为和的中点，所以，
所以，又因为平面，所以平面．
（2）解：由（1）可得，在平面中，过作，垂足为，
则，而，故，
以所在直线分别为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，设平面的法向量为，
由，可得令，
可得平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围．
解：（1）的定义域为，，
若，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
（2）令，易知，由题意知，，
由（1）知，
又，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故实数的取值范围为．
18. 在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
（1）求；
（2）若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
解：（1）方法1：，，，
由或，
于是或，所以或．
方法2：显然，则，
于是，所以，
相减得，即，
所以，，又，，解得或.
（2）（ⅰ）当时，，即，
所以，相减整理得，，
所以，，…，，累乘得，，
也满足上式，所以．
所以．
（ⅱ），，显然．
，
所以，，…，，
累加得，得证．
19. 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为．
（1）求的方程；
（2）若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点．
（ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值；
（ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标．
解：（1）由题意知，，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，．
由得．
由，，得且，，．
所以
．
故直线和的斜率之和为定值4．
（ⅱ）方法1：设点的横坐标为，
由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，
于是，，
所以，
所以点的坐标为．
在方程中，令，得，
所以，
所以，
可得，
所以或，又因为，
所以，所以点的坐标为．
方法2：设点的坐标为，
在方程中，令，得，所以，
所以，解得．
又，且为线段的中点，所以，
又由（ⅰ）知或（舍去）．
所以点的坐标为．
月用电量（kW·h）
用户数量
频率
20
0.3
40
0.2