辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了测试时间， 在数列中，，对任意，，，则，1B， 下列命题错误的个数是等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二数学组 审校人：高二数学组
说明：1.测试时间：120分钟总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（选择题 58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
2. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 在数列中，，对任意，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据）
A. 733.21元B. 757.37元C. 760.33元D. 770.66元
8. 下列命题错误的个数是（ ）
①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1.
②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是.
③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立.
④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时，
，
所以当时，不等式成立.
综上.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A
B ，，成等比数列
C. 若，则数列的前n项和为
D. 若，则存在正整数M，使得当时，
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C 已知随机变量 ，若 ，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
11. 如图，曲线上点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列的通项公式B. 数列的通项公式
C. D.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________．
13. 已知，求数列__________.
14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，.
（1）求，的通项公式：
（2）求数列的前项和.
16. 已知正项数列，满足，，为等比数列，前项和为，若；
（1）求的通项公式；
（2），的共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列，若，使，求；
17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
18. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况.
经计算可得：，，.
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值.
参考公式：，.
沈阳二中2024-2025学年度下学期4月阶段测试
高二（26届）数学试题
命题人：高二数学组 审校人：高二数学组
说明：1.测试时间：120分钟总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（选择题 58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以．
故选：C．
2. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得到，由得到，即可求解；
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，即中最小的项是，
故选：C.
3. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和判断的单调性，即可求解.
【详解】，
当时，，单调递减，
此时，；
当时，，单调递减，
此时，，
所以取到最小值时的值是.
故选：B.
4. 在数列中，，对任意，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用累加法求出，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】令，则，即，
故，
累加得：，
故，
故，
故.
故选：B
5. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用三点共线得，根据等差数列的性质求得可得答案.
【详解】，不妨设，
因为三点共线，所以，
所以
，
所以，
故选：D.
6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解.
【详解】由题设，则，
增加数据后，，，且回归直线为，
所以，则，
所以，有，故残差的绝对值为.
故选：A
7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据）
A. 733.21元B. 757.37元C. 760.33元D. 770.66元
【答案】B
【解析】
【分析】首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果.
【详解】设每一期所还款数为元，
因为贷款的月利率为，
所以每期所还款本金依次为，
则，
即，
，
，
，
即李华每个月所要还款约元.
故选：B.
8. 下列命题错误的个数是（ ）
①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1.
②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是.
③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立.
④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时，
，
所以当时，不等式成立.
综上.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可.
【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意，
根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误；
对于②，当时，左边的代数式为，
当时，左边的代数式为，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：
，故②错误；
对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误；
对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. ，，成等比数列
C. 若，则数列的前n项和为
D. 若，则存在正整数M，使得当时，
【答案】CD
【解析】
【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D.
【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误；
对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误；
对于C，由题意，，则，则，
所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确；
对于D，由题意，，则，，
因为呈指数增长，呈线性增长，
因此当足够大时，必有，故D正确
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量 ，若 ，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用方差的性质计算判断A；利用平均数、中位数的意义判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用二项分布的概率最大求解判断D.
【详解】对于A，设样本数据为，则，解得，
数据的方差为，A正确；
对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误；
对于C，随机变量，由，得，C正确；
对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为，
由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确.
故选：ACD
11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列的通项公式B. 数列的通项公式
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D.
【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为，
由，得，则，
由，则的横坐标为，纵坐标为，
且在曲线上，则，
又，即，得，则，
当时，，两式相减得，，
因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
对于A，，A正确；
对于B，由，得
，B错误；
对于C，正面积，
则，C正确；
对于D，由，得，，
当时，，
则
，D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由得，构造等比数列即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
13. 已知，求数列__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式.
【详解】时，，
时，由，
有，
两式相减，得，则有，
时，不符合，
所以.
故答案为：
14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值.
【详解】因为数列的前项和为，且，
当时，则，所以，
当且时，由可得，
上述两个等式作差得，
所以，满足，
故对任意的，，
当且时，，也满足，
故对任意的，，
因为，
记，
则，
所以，
，
故.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，.
（1）求，的通项公式：
（2）求数列前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求，通项公式
（2）分别利用等差等比数列前项和公式求和即可.
【小问1详解】
设数列和数列的公差公比分别为d，q，
，
等比数列是递增数列，
.
，
，
，
，
所以等差数列的通项公式为：，
等比数列的通项公式为：.
【小问2详解】
为等比数列，
数列也是等比数列，公比为
数列的前项和
.
16. 已知正项数列，满足，，为等比数列，的前项和为，若；
（1）求的通项公式；
（2），共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列，若，使，求；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用累加法，求出.
（2）根据题意，得到，进而可变为，计算可得答案.
【小问1详解】
时，，得，
时，，故，
，整理得，，
故，（）利用累加法，得到
，，，；
检验，当时，，当时，，满足，
【小问2详解】
，，为等比数列，由（1）得，，
，，且，则，，
，的共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列，
：，，
若，使，列式可得，
，解得.
17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关
（2）（i）；（ii）人
【解析】
【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论；
（2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论；
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，
由列联表中数据得，.
根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关.
【小问2详解】
（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立.
设“员工经过培训能应用”，则
，
所以员工经过培训能应用的概率是.
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，
则，因此，
调整后视频部的年利润为
（万元），
令，解得，又，所以.
所以视频部最多可以调人到其他部门.
18. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解；
（2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由题意可得，则
因为数列是递减的等比数列，解得，
所以，，
因为，所以，，
因为，则，所以，，
故
【小问2详解】
当为奇数时，，令，
则，所以，，
两个等式作差可得
，化简得；
当为偶数时，
令，
故.
19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况.
经计算可得：，，.
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值.
参考公式：，.
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为，最小值为，证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程.
（2）由题意得，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解.
（3）分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解，准确推理，运算，即可得证.
【小问1详解】
由题意，，，
则，
，
所以y关于t的经验回归方程为.
【小问2详解】
由题意，可知，，
当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
【小问3详解】
由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
【点睛】知识方法点睛：与新定义有关问题的求解策略：
通过给出一个新定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的.
遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
DeepSeek的应用情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
没有应用
合计
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90