江西省上饶市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江西省上饶市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了考试结束后，上交答题卡， 函数在区间上的图象大致是， 对于的最小值为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025年3月 考试时长：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，上交答题卡.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 如果角与角x＋45°具有相同终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 函数在区间上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
6. 对于的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A. B. C. 4D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
11. 已知函数，下列选项正确的有（ ）
A. 的最小正周期为B. 函数的单调递增区间为
C. 在区间上只有一个零点D. 函数在区间上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________________________.
13. 已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______．
14. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求值.
16. 设函数.
（1）求函数的定义域及对称中心；
（2）求不等式的解集.
17. 已知（为常数）.
（1）求递增区间；
（2）求的最大值及取得最大值时的集合；
（3）若时，的最小值为，求的值.
18. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.
（1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系
（2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象
19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”．
（1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
（2）证明：函数在上为“伴和函数”；
（3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围．
上饶市第一中学2027届高一年级第一次月考
数学试卷
考试时间：2025年3月 考试时长：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，上交答题卡.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知扇形圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为，
所以该扇形的面积为.
故选：B
2. 如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可.
【详解】利用终边相同的角的关系，得，.
则与有关，故AC错误；
又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.
故选：D．
3. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得函数的最小正周期为T=6，再由时，，代入可求得答案.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为T=6，所以，
又当时，，所以，所以，
故选：C.
4. 函数在区间上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将表达式化简，结合正弦函数的图象即可得解.
【详解】由题意，
所以函数在区间上的图象大致如图：
.
故选：A.
5. 将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用平移变换和伸缩变换得到的图象，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：将的图象向右平移个单位长度得：
的图象，
再将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）得：
的图象，
因为，
所以，
所以．
所以函数的值域为．
故选：D
6. 对于的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】令，则，对称轴，
所以当时，取到最小值，最小值为，
故选：A.
7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的区间单调性有、，即可求参数范围.
【详解】在上递增，且，故，得，即，
在上递减，且，
而，，只需，得，
综上，.
故选：C
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值.
【详解】当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时，
结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：

由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可，
因为图象的对称性，不妨考虑时的情况，
当时，，所以，
当时，，所以或，
结合图象，若成立，则有，所以，
又因为若对任意，都有，
则有，所以，所以，
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】先写出角α的终边在第一象限角的集合，再通过运算进行求解判断即可.
【详解】因为角α的终边在第一象限，
所以，，
即，．
当时，，则终边在第一象限；
当时，，则终边在第二象限；
当时，，则终边在第三象限；
当时，，则终边在第一象限．
故选：ABC．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图象确定函数的周期，结合周期公式求，判断A，根据时，函数无意义，求，判断B，再求判断C，结合对称的性质及正切函数性质判断D.
【详解】由图可知，的最小正周期，又，所以，故，A正确；
由图象可知时，函数无意义，故，
由，得，故B正确，
因为，所以，
即的图象与轴的交点坐标为， C错误；
因为，
所以
所以函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，下列选项正确的有（ ）
A. 的最小正周期为B. 函数的单调递增区间为
C. 在区间上只有一个零点D. 函数在区间上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】由余弦型函数的相关性质逐项求解判断即可.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A对；
对于B选项，由得，
所以，函数的单调递增区间为，故B错；
对于C选项，当时，，
由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，故C对；
对于D选项，当时，，则，
则函数在区间上的值域为，故D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________________________.
【答案】
【解析】
【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
故答案为：.
13. 已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出.
【详解】由图象可知的最小正周期为，
解得，
代入可得，
解得，
又，所以，
故，
左移个单位长度得，
故．
故答案为：
14. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，
则等边三角形的边长，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解即可；
（2）先利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入即可.
【小问1详解】
由题意知，，
，
，
【小问2详解】
由（1）知，,.
∴.
16. 设函数.
（1）求函数的定义域及对称中心；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正切函数的性质，采用整体代入的方法即可求得答案；
（2）结合正切函数的单调性，采用整体代入的方法列出不等式求解即可得答案.
【小问1详解】
∵函数，
由，，解得，；
故函数的定义域为.
令，，解得，
故函数的对称中心为，.
【小问2详解】
因为，，
所以
则，，
解得，，
故原不等式的解集为.
17. 已知（为常数）.
（1）求的递增区间；
（2）求的最大值及取得最大值时的集合；
（3）若时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型复合函数直接求单调区间即可；
（2）利用正弦函数性质直接求解即可；
（3）根据的范围，直接求解析式的最值，即可得到答案.
【小问1详解】
令，
解得
所以的递增区间.
【小问2详解】
由正弦函数性质知，
当时，
即，取得最大值为.
【小问3详解】
因为，所以，
则，且时取得最小值，
所以，则.
18. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.
（1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系
（2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象
【答案】（1）；
（2）图象见解析
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系式；
（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.
【小问1详解】
由题意，
所以，，
因为逆时针方向每分转2圈，所以,
因为时，，所以，即，
又，所以
，所以；
【小问2详解】
由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，
列表如下
描点连线，图象如图.
19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”．
（1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
（2）证明：函数在上为“伴和函数”；
（3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不存在，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据函数新定义得到，利用判别式判断是否存在实根，即可得结论；
（2）根据已知可得，令并应用零点存在定理判断零点的存在性，即可证结论；
（3）根据题设有，令，问题化为有解，结合对勾函数性质求参数范围.
【小问1详解】
不存在，理由如下：
若，则，整理得，
因为，该方程无实数解，
所以不存在实数，使得函数“伴和函数”；
【小问2详解】
若函数在上为“伴和函数”，则，
得，整理得，
设，
因为在内连续，且，则，
所以在内存在零点，所以在内存在零点，
即方程在内存在实根，
故在上为“伴和函数”．
【小问3详解】
若函数在上为“1伴和函数”，则，
即，
整理得，
令，则，
所以，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，即，
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：根据函数新定义，应用方程法、零点存在性定理及函数在给定区间内有解求解证明.
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