北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（原卷版+解析版），共16页。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的最大值是（ ）
A B. 3C. D. 5
5. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. 3B. C. D. 5
6. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
8. 设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点逆时针旋转后得到，则的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝，O是内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A B. C. 4D. 6
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11 已知，则＝________.
12. 已知复数，则______.
13. 如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中，______；图形的面积为______．
14. 在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为______，与水流方向所成的角为______．
15. 已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论：
①若，则；
②若在方向上的投影向量为，则的最小值为；
③若，则的最大值为；
④若，则为定值．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知复数．
（1）当时，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值．
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求BC边上中线的长．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
19. 已知平面四边形的边长满足，且．
（1）若，求的大小；
（2）若，求四边形的面积．
20. 如图，在正四棱锥中，侧棱SA长为1，记，其体积记为，表面积记为．
（1）求的值；
（2）求的解析式，并直接写出的取值范围；
（3）试判断是否存在最值，并说明理由．
21. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.
（1）在仿射坐标系中.
①若，求；
②若，且，夹角为，求；
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.