广东省中山市第一中学（丰山部）2024−2025学年高二下学期第二次统测（4月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市第一中学（丰山部）2024−2025学年高二下学期第二次统测（4月） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．将个和个随机排成一行，共有多少种不同的排法（ ）
A．B．C．D．
2．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量的分布列为，则等于( )
A．B．C．D．
4．已知随机变量，若，则分别是（ ）
A．6和2.4B．2和2.4
C．2和5.6D．6和5.6
5．已知变量与的一组数据如下表所示，根据数据得到关于的回归方程为.
若，则（ ）
A．6B．7C．8D．
6．设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）
A．0.06B．0.07C．0.075D．0.08
7．已知多项式，则（ ）
A．0B．32C．16D．
8．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0B．C．3D．或3
二、多选题（本大题共3小题）
9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
10．某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：
单位人
下列说法正确的有（ ）
A．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得
B．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生
C．有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联
D．若该样本中男生身高h(单位：cm)服从正态分布，则该样本中身高在区间内的男生超过30人
附1:（其中)．
临界值表：
附2:若，则随机变量X取值落在区间上的概率约为
11．已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图像与直线只有一个公共点
D．对任意的
三、填空题（本大题共3小题）
12．袋中有大小、质地相同的4个红球和3个黑球，一次性从袋中取出4个球，取到1个红球得分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量，则 用分数表示
13．现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
14．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
16．红铃虫（Pectinphra gssypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.
（参考数据：，，，）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.
(1)求该嘉宾获得公益基金元的概率；
(2)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
(3)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
18．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若，求数学期望；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
19．已知函数．
(1)当时，求函数的极值点；
(2)若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法；
若2个0不相邻，则有，则有种排法，所以共有种.
故选C.
2．【答案】D
【详解】的展开式共有项，中间一项的二项式系数最大，为，
展开式的通项为，令可得，
含项为，其系数为，则，
故选．
3．【答案】B
【详解】由，则，解得，
则.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由二项分布的性质得，
由已知随机变量，所以有.
所以，
.
故选B.
5．【答案】B
【详解】由，得，令，则，
由题意
因为满足，所以，解得，所以，
所以，令，解得．
故选B.
6．【答案】C
【详解】依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是，
所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为，
故选C．
7．【答案】B
【详解】设，则，
令，则，
的展开式中一次项为，常数项为1，
的展开式中一次项为，常数项为16，
所以，
所以，
故选B．
8．【答案】D
【详解】因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.
【详解】A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选ABD.
10．【答案】CD
【详解】从高三年级名学生中随机抽取名，得列联表，不是分层抽样而得，A错误；
由列联表，高三学生身高最高的不一定是男生，B错误；
由列联表，，
有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联，C正确；
若该样本中男生身高(单位：)服从正态分布，则，D正确；
故选CD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为函数在处取得极值，
所以，，解得，故A正确.
即
对于B，因为真数，所以
所以，欲证，只需证
因为，定义域为
所以，令，解得
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，所以，
即，故B错误
对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根，
由上述可得在递减，在递增，
所以，故C正确
对于D，由上述得恒成立，
即恒成立，
所以当时，，即
因为
所以
且
所以，
即证，故D正确
故选:ACD.
12．【答案】
【详解】由题意知，若取出的是4个红球，则得分为4分；
若取出的是3个红球1个黑球，则得分为6分；
若取出的是2个红球2个黑球，则得分为8分；
若取出的是1个红球3个黑球，则得分为10分；
所以，，
所以.
13．【答案】
【详解】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；
③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种；
综上所述：共种.
14．【答案】
【详解】由可得对任意的恒成立，
构造函数，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，
由可得，可得，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，则，故.
因此，实数的取值范围是.
15．【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】
根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,……………………….（3分）
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.………………..…………….（6分）
（2）,……………….………….（9分）
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. ….……….（12分）
16．【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析
(2)；250个
【详解】（1）应该选择模型①.
由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，
回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适
（2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则.
，
所以，
则z关于x的线性回归方程为.
于是有，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为
当时，（个）.
所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个
17．【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，元.
【详解】（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
所以元.
18．【答案】(1)50
(2)（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计，
【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，
即，
得，所以；
（2）（i）“”，
，
所以；
（ii）记，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得最大值，即取得最大值，
在团队提出的函数模型，中，
记函数，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得最大值，则不可以估计，
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计.
19．【答案】(1)极大值点为1，没有极小值点．
(2)
【详解】（1）解：当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为1，没有极小值点．
（2）解：令，
则不等式恒成立，即恒成立，
，
①当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立；
②当时，，
令，因为，得，
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数，
故函数的最大值为；
令，因为在上是减函数，
又因为，所以当时，，所以，
所以整数的最小值为2．
1
2
3
4
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
80
16
96
男
20
84
104
合计
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.02
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
25
2.89
646
168
422688
48.48
70308

0
1000
3000
6000