陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（ ）
A．3B．6C．2D．4
6．已知曲线，，其中．点，，是曲线与依次相邻的三个交点．若是等腰直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（ ）
A．1B．2
C．D．
8．函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
10．已知曲线，则（ ）
A．不是封闭图形
B．有4条对称轴
C．与坐标轴有4个交点
D．与直线有4个交点
11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ）
A．是非奇非偶函数
B．的值域为
C．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为
D．的图象与的图象恰有个交点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ．
13．已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为 ．
14．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知分别为三个内角的对边，向量，.
(1)求；
(2)若.求的面积.
16．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.
17．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成角的正切值为2，点满足，求直线与平面所成角的余弦值.
18．对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
(3)若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
19．定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
(1)若，求的前项和；
(2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
(3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，所以，所以的子集个数为．
故选D．
2．【答案】D
【详解】，所以复数对应的点为，
因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为，
所以，
故选D.
3．【答案】C
【详解】取的中点为，则也是，的中点，
故，
因此.
故选C.
4．【答案】C
【详解】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.
.故选C.
5．【答案】A
【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3，
所以，又，
所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以，，
所以，
，
故选A．
6．【答案】D
【详解】
因为点，，是曲线与依次相邻的三个交点，不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图所示，为的中点，连接,
易知，,与轴平行，所以
又因为是等腰直角三角形，所以，所以
又因为在曲线上，所以，
又因为所以：即
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，
因此，，．
记，，则，
因为在上递减，且，，
所以存在唯一的满足，即，
且当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
故是的极大值点，也是最大值点．
此时．
故选D.
8．【答案】A
【详解】解：因为为奇函数，即，
所以，函数的图像关于点对称，即，
因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即，
所以，，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，
因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，
所以，曲线在处的切线斜率为，
因为，，
所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选A.
【方法总结】由题意可以求得周期性与对称性，然后求出该点的斜率，再用点斜式方程求即可.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，令，则，故A正确，
对于B,
将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，
对于C，分别为，则平均数为，
故方差为，故标准差为3，C正确，
对于D， ，
故，故D正确，
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，
所以或，
所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故A正确；
对于B，由A项分析知，E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故B错误；
对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确；
对于D，因为C的一条渐近线方程为且，
根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，
又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BD
【详解】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，
故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况.
当时，.
此时，故，
当时，，此时，故，
综上可得时，的值域为，故B正确；
对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，故，故C错误；
对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确.
故选BD.
【点睛】
方法点睛：已知函数交点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．【答案】
【详解】由得，，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，
所以，
所以.
13．【答案】8
【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为，
联立，消去可得：，解得，
，，
由抛物线的定义可得，，
根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．
14．【答案】
【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则，
所以，
所以.
15．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，
所以，
，即，
又，故，即.
（2），所以，
，
,
又,即,
,
或（舍）,
故.
16．【答案】(1)；
(2)1.
【详解】（1）由，，则，
由，，则，
所以；
（2）由，，则，
，令，则，故，
设，则，在时，递减，
所以，最大值为1.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，
又因为为的中点，，所以，
又面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）过作交于点，面面，
面面面，所以面，
因为面，所以面，
又面，所以，
所以为的交点，为等边三角形，所以H为的重心，设DH与AB交点为M，连接，则为二面角的平面角，
因为，在中，解得，
因为，所以，所以平面，
以为原点，所在直线为轴建立如图坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得：
即，又，
设平面和直线所成的角为，则，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）在椭圆中，由，得，
所以椭圆的离心率.
（2）椭圆，由，解得，
而，则，
圆在处切线方程为，又过焦点，则，
所以.
（3）当时，椭圆，，设，
椭圆在处切线为，圆在处切线为，
由直线与均相切，得，即，
由，得，解得，
，当且仅当，即时取等号，
即的最大值为，所以的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)是的充要条件.
(3)的最大值为，
【详解】（1）依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.
故当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上所述，
（2）充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，
故是的充分条件.
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为.
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件.
综上，可知是的充要条件.
（3）当时，，当时，，
当时，，当时，.
综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.
又由题意可知，所以，
所以，故的最大值为，
此时的通项公式可以是