2024-2025学年上海市宝山区海滨中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市宝山区海滨中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a=−1”是“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 不充分也不必要条件
2.已知F为抛物线C：y2=12x的焦点，点M(x0,6)在抛物线C上，则|MF|=( )
A. 8B. 9C. 7D. 6
3.若数列{an}是等比数列，且an>0，a4⋅a5=9，则lg3a1+lg3a8的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.法国数学家加斯帕⋅蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为( )
①椭圆Γ的离心率为 22
②M到Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 22a
③△MPQ面积的最大值为32a2
④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=−12
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.点P(2,−1)到直线x+y=3的距离为______．
6.若直线l1：ax+3y−6=0与直线l2：x+(a−2)y−2=0平行，则a= ______．
7.已知直线x−y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)有且仅有一个公共点，则r= ______．
8.已知双曲线C：x26−y23=1，则其渐近线方程为______．
9.已知双曲线C：x216−y233=1的两个焦点为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|=10，则|PF2|= ______．
10.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为______．
11.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
12.首项为2，公比为23的无穷等比数列{an}的各项和为______．
13.已知F1、F2分别是椭圆C：x216+y24=1的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF2⋅F1F2=0，且|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列，则C的离心率为______．
15.点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2−4x+3=0上任意一点，且P(1,−1)，则|MP|+|MN|的最小值为______．
16.已知曲线C：4y2−x|x|=4，点F( 3,0)，下面有四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；
③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；
④曲线C与曲线(x−2y−m)(x+2y−m)=0，(m∈R)的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S4=2a5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=2an，求{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题14分)
已知圆心为C的圆经过点A(−1,−5)和B(6,2)，且圆心C在直线l：x+3y+3=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若过定点(0,2)的直线l被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程．
19.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线：x23−y2=1的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=1，PA=2，AB⊥BC，N为PD的中点．
(Ⅰ)求证：AN//平面PBC；
(Ⅱ)求二面角C−PD−A的余弦值；
(Ⅲ)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为 63，求点M到平面PCD的距离．
21.(本小题14分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1，A2，上下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的周长为4 3，过点P(0,2)且斜率为k的直线交C于A，B两点，当直线AB过C的左焦点时，k=2．
(1)求C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，△OAB的面积为2 67，求直线AB的方程；
(3)记直线AB1与直线BB2的交点为M，求|MA1|的最小值．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5. 2
6.−1
7. 2
8.y=± 22x
9.18
10.±1
11.π3
12.6
13.4
14.2
15.2
16.①②④
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1=2，S4=2a5，
所以4×2+4×32d=2(2+4d)，
解得d=2，
所以an=a1+(n−1)d=2n．
(2)由(1)可知，bn=22n=4n，
所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以Tn=4(1−4n)1−4=4n+1−43．
18.(x−3)2+(y+2)2=25．
y−2=0或24x−7y+14=0．
19.解：(1)抛物线的焦点F为(p2,0)，双曲线的渐近线方程为：y=± 33x，即x± 3y=0，
则|p2| 12+(± 3)2=1，解得p=4，
故抛物线C的方程为：y2=8x；
(2)由题意可知直线l不能与x轴平行，故方程可设为x=my+n(n≠0)，
与抛物线方程联立，x=my+ny2=8x，消去x得：y2−8my−8n=0，
设A(x1,y1)B(x2,y2)，
则y1+y2=8m，y1y2=−8n，
由OA⊥OB可得：x1x2+y1y2=0，
即y1y2+(y1y2)264=0，
即y1y2(1+y1y264)=0，
即−8n(1+−8n64)=0，
又n≠0，解得：n=8，
所以直线l的方程为x=my+8，
所以直线l过定点(8,0)．
20.解：(Ⅰ)证明：设PC的中点为F，连接NF，BF，
因为N为PD的中点，所以NF//DC，且NF=12DC，
又AB//CD，且AB=12CD，所以NF//AB，且NF=AB，
所以四边形ANFB为平行四边形，则AN//BF，
又AN⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，
所以AN//平面PBC．
(Ⅱ)记CD的中点为E，连结AE，
因为AB//CD，CE=12CD=1=AB，AB⊥BC，
所以四边形ABCE是矩形，则AE=BC=1，AE⊥AB，
以A为原点，以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，D(1,−1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，
则CD=(0,−2,0)，PD=(1,−1,−2)，AP=(0,0,2)，
设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c)，
则AP⊥nPD⊥n，所以AP⋅n=2c=0PD⋅n=a−b−2c=0，
令a=1，则n=(1,1,0)，
设平面PCD的一个法向量为u=(r,s,t)，
则CD⊥uPD⊥u，所以CD⋅u=−2s=0PD⋅u=r−s−2t=0，
令t=1，则u=(2,0,1)，
所以cs=n⋅u|n|⋅|u|=2 2× 5= 105，
由图可知，二面角C−PD−A为锐角，
所以二面角C−PD−A的余弦值为 105．
(Ⅲ)依题意，设M(0,0,k)(0≤k≤2)，则CM=(−1,−1,k)，
又由(Ⅱ)得平面PAD的一个法向量为n=(1,1,0)，
记直线CM与平面PAD所成角为β，
所以sinβ=|cs|=|n⋅CM||n|⋅|CM|=2 2⋅ 2+k2= 63，
解得k=1(负值舍去)，
所以M(0,0,1)，则MP=(0,0,1)，
而由(Ⅱ)得平面PCD的一个法向量为u=(2,0,1)，
所以点M到平面PCD的距离为|MP⋅u||u|=1 5= 55．
21.解：(1)如图，

由题意知4 a2+b2=4 32c=2c2=a2−b2，解得a= 2，b=1，c=1，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1；
(2)
由题意知直线AB的方程为y=kx+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+2x22+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，
所以Δ=(8k)2−24(2k2+1)=16k2−24>0，解得k2>32，
所以x1+x2=−8k2k2+1，x1x2=62k2+1，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (−8k2k2+1)2−4⋅62k2+1=2 (1+k2)(4k2−6)2k2+1，
又点O到直线AB的距离d=2 1+k2，
所以△OAB的面积S=12|AB|d=12⋅2 (1+k2)(4k2−6)2k2+1⋅2 1+k2=2 4k2−62k2+1=2 67，
解得k2=3或k2=256，所以k= 3或k=− 3或k=5 66或k=−5 66，
所以直线AB的方程为y= 3x+2或y=− 3x+2或y=5 66x+2或y=−5 66x+2．
(3)
由题意知直线AB的方程为y=kx+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+2x22+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，
所以Δ=(8k)2−24(2k2+1)=16k2−24>0，解得k2>32，
所以x1+x2=−8k2k2+1，x1x2=62k2+1，
设M(m,n)，因为B1(0,1)，A(x1,y1)，M在同一条直线上，所以n−1m=y1−1x1=kx1+1x1=k+1x1，
所以n+1m+3⋅n−1m=4k+3(x1+x2)x1x2=4k+3⋅(−8k2k2+1)62k2+1=0，
所以n=12，所以点M在直线y=12上，
所以|MA1|min=12．