河北省2025年高考 数学模拟训练（新高考Ⅰ）（含解析）

这是一份河北省2025年高考 数学模拟训练（新高考Ⅰ）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x||x|≤2,x∈Z，B=x| x≤4，则A∩B=( )
A. 0,2B. 0,2C. 0,2D. 0,1,2
2.若复数z满足z(1+i)=2i，则z等于( )
A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1+i
3.已知向量a，b满足a=(1,2)，a⋅b=5，且a⊥(a+λb)，则λ=( )
A. −1B. −2C. −12D. −15
4.已知sin2π4+α=4503，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,18)B. (−∞,−1)∪(18,1)
C. (−1,18)D. (−∞,18)
7.若函数y=sin(ωx+π6)在区间(0,1)上至少有2024个极值点，则正实数ω的取值范围是( )
A. (0,6070π3)B. (0,6073π3)C. (6070π3,+∞)D. (6073π3,+∞)
8.若函数f(2x−1)的定义域为[−3,1]，则y=f(3−4x) x−1的定义域为( )
A. {1}B. (1,32]C. (32,52]D. (1,52]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3
B. 在α=0.05的独立性检验中，若x2不小于α对应的临界值x0.05，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05
C. 随机变量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=10，则n=90
D. 用y=cekx拟合一组数据时，经z=lny代换后得到的回归直线方程为z=0.3x+4，则c=e4，k=0.3
10.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在(−∞,−2)和(−1,+∞)上单调递增，在(−2,−1)上单调递减，有且仅有两个零点f′(−3)=f′(−1)=0，则以下命题是假命题的有
A. −3是函数y=f(x)的极值点
B. −1是函数y=f(x)的最小值点
C. y=f(x)在区间(−3,−1)上单调递增
D. y=f(x)在x=−32处切线的斜率小于零
11.已知正数x，y满足x4+y3=1，则下列选项中正确的是( )
A. xy≤3B. x2+y2≥125
C. (x+4)y的最大值为12D. 8x+16y的最小值为128
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线x24−y25=1的离心率为_________
13.已知曲线y=x3−3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为 ．
14.从二项式(x+1x)6的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2+c2−a2csA=2．
(1)求bc；
(2)若acsB−bcsAacsB+bcsA−bc=1，求ΔABC面积．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x24+y23=1的中心为O，直线y=kx+1与C相交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标为−47，求k；
(2)在(1)的条件下，若k>56，求弦长|AB|的值；
(3)点P的坐标为(0,3)，证明：∠APO=∠BPO．
17.(本小题15分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为AD中点，F在CD边上，且CF=2DF，将△DEF沿EF翻折至△PEF，得到五棱锥P−ABCFE，M为PB中点．
(1)求证：EM //平面PCF；
(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AM与平面PCF所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数fx=ax−1−lnxa∈R．
(1)若a=2，求fx在1e,e上的最大值和最小值；
(2)若a=1，当x>1时，证明：xlnx>fx恒成立；
(3)若函数fx在x=1处的切线与直线l:x=1垂直，且fx+xlnx+k>kx−1−lnx对任意的x∈1,+∞恒成立，求k的最大整数值．
19.(本小题17分)
若存在无穷多组正整数组(an,bn,cn)，满足an2+bn2=mcn2，且对任意正整数i，j，不存在正数λ，使得aiaj=bibj=cicj=λ，则称正整数m是有趣数，称(an,bn,cn)为m的一列有趣数组(不必考虑所有的有趣数组)．
(1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①(3n,4n,5n)；
②(2n,n2−1,n2+1)(n=2,3,⋯)．
(2)过点A(−1,−1)作斜率为n的直线交圆x2+y2=2于另一点B，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组(an,bn,cn)；
(3)从1，2，…，6中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【解答】解：由 A=x||x|≤2,x∈Z=−2,−1,0,1,2 ， B=x| x≤4=x0≤x≤16 ，
所以 A∩B= 0,1,2 ．
故选：D
2.【答案】A
【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=2i，
∴z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i．
故选：A．
由复数z满足z(1+i)=2i，得z=2i1+i，由此能求出结果．
本题考查复数的求法，考查复数的运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a⊥(a+λb)，
所以a⋅(a+λb)=a2+λa⋅b=0，
又a=(1,2)，a⋅b=5，
所以5+5λ=0，解得λ=−1．
故选：A．
由向量垂直得数量积为0，再根据题设即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】【解答】解：由题得 sin2π4+α=( 22sinα+ 22csα)2=1+sin2α2=45 ，
解得 sin2α=35 ，因为 00) ，
令 f′x=0 可得 x=12 ，故当 x∈0,12 时f’(x)0， fx 在 12,+∞ 单调递增；
故 fx 递减区间为 1e,12 ，递增区间为 12,e ，
函数 fx 的极小值 f12=ln2 是唯一的极小值，无极大值．
又 f1e=2e,fe=2e−2>f1e ，
∴f(x)在 1e,e 上的最大值是 2e−2 ，最小值是 ln2 ；
(2)当 a=1 时，令 ℎx=xlnx−fx=xlnx−x+lnx+1 ，
ℎ′x=lnx+1x(x>0) ．
当 x>1 时， ℎ′(x)>0 ，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当 x>1 时， ℎx>ℎ1=0 ，所以 xlnx>fx 恒成立．
(3)因为函数 fx 的图象在 x=1 处的切线与直线 l:x=1 垂直，
所以 f′1=0 ，即 a−1=0 ，解得 a=1
所以 fx=x−1−lnx ．
因为对 ∀x∈1,+∞ ， fx+xlnx+k≥kx−1−lnx 恒成立，
所以对 ∀x∈1,+∞ ， xlnx−(k−1)x+k>0 恒成立．
设 gx=xlnx−(k−1)x+k ，则 g′x=lnx+2−k ，
令 g′x=0 ，得 x=ek−2 ．
当 ek−2>1 即 k>2 时，
由 g′x0 ，得 k>ek−2 ．
当 k=3 时， 3>e ，成立；当 k=4 时， 4>e2 ，不成立；当 k≥5 时， k>ek−2 都不成立，
所以实数 k 的最大整数值为3．
当 ek−2≤1 即 k≤2 时，x∈(1,+∞)， g′x>0 ， gx 在(1,+∞)上单调递增，
所以 gx>g(1)=1>0 ，符合题意．
综上，实数 k 的最大整数值为3．

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
(1)利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可；
(2)构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明；
(3)根据导数的几何意义求出 a ，将原问题转化为对 ∀x∈1,+∞ ， g(x)=xlnx−(k−1)x+k>0 恒成立，利用导数分类讨论研究 gx 的性质求出 gxmin=k−ek−2 ，令 k−ek−2>0 即可．
19.【答案】①是；②不是；
m=2是有趣数，数组为(2n2−2n,n2+2n−1,n2+1)；
概率为25．
【解析】解：(1)①不是，因为数组(3n,4n,5n)中的任何两个都是比例关系；
②是，因为数组(2n,n2−1,n2+1)(n=2,3,⋯)中的任何两个都不是比例关系．
(2)证明：直线AB的方程为y=nx+n−1，联立圆x2+y2=2的方程可得(n2+1)x2+(2n2−2n)x+n2−2n−1=0，
由韦达定理可得(−1)xB=n2−2n−1n2+1，即xB=−n2−2n−1n2+1，
于是yB=nxB+n−1=n2+2n−1n2+1，又点B的坐标满足圆x2+y2=2的方程，
于是(−n2−2n−1n2+1)2+(n2+2n−1n2+1)2=2，即(n2−2n−1)2+(n2+2n−1)2=2(n2+1)2．
取an=n2−2n−1，bn=n2+2n−1，cn=n2+1，其中n=3，4，…，
若存在正整数i和j且i，j≥3，使得aiaj=bibj=cicj=λ>0，
那么i2−2i−1j2−2j−1=i2+2i−1j2+2j−1=i2+1j2+1，
因为ab=cd，则有比例性质ab=a−cb−d，
于是i2+1j2+1=i2−2i−1j2−2j−1=i2+1−(i2−2i−1)j2+1−(j2−2j−1)=i+1j+1，i2+1j2+1=i2+2i−1j2+2j−1=i2+2i−1−(i2+1)j2+2j−1−(j2+1)=i−1j−1，
故i+1j+1=i−1j−1，则i=j，矛盾!故对任意正整数i，j，不存在正数λ，使得aiaj=bibj=cicj=λ，
则2是有趣数，2的一列有趣数组(an,bn,cn)为(n2−2n−1,n2+2n−1,n2+1)．
(3)由(1)可知1是有趣数；由(2)可知2是有趣数；当m=3时，假设方程x2+y2=3z2有正整数解，
设(x0,y0,z0)是所有正整数解中使x最小的一组解．由于x02+y02=3z02，故x02+y02是3的倍数，
若x0=3k+1，y0=3l+1，k，l为非负整数，则x02+y02=9(k2+l2)+6(k+l)+2不可能是3的倍数，矛盾，
同理可x0=3k+1，y0=3l+2，或x0=3k+2，y0=3l+1，或x0=3k+2，y0=3l+2也不成立．
若x0为3的倍数，则y0也为3的倍数，设x0=3，x13b=3y1，
则(3x1)2+(3y1)2=3z02，即3x12+3y12=z02，故z0为3的倍数．
设z0=3z1，则有x12+y12=3z12.所以(x1,y1,z1)也是原方程的一组正整数解，
且x1