2023-2024学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题.，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列函数中，是的一次函数的是
A．B．C．D．
2．（2分）下列关于的方程中，属于分式方程的是
A．B．C．D．
3．（2分）下列事件中，属于确定事件的是
A．在实数中任取一个数，这个数的平方大于0
B．太阳东升西落
C．掷一次骰子，点数为6的一面朝上
D．买一张彩票，中500万大奖
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
5．（2分）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是
A．B．C．D．
6．（2分）某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了4分钟，其离家的路程（单位：与出行的时间（单位：变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他
A．仍会迟到3分钟到校B．刚好按时到校
C．可以提前8分钟到校D．可以提前2分钟到校
二、填空题（共12题，每题3分，满分35分）.
7．（3分）一次函数的截距为 ．
8．（3分）方程的根是 ．
9．（3分）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的直线表达式为 ．
10．（3分）关于的方程的解是 ．
11．（3分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
12．（3分）如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是 边形．
13．（3分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ．
14．（3分）已知一个菱形的边长为10，其中一条对角线长为12，那么另一条对角线的长为 ．
15．（3分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ．
16．（3分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 ．
17．（3分）新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“双旋点”．如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“双旋点” 的坐标为 ．
18．（2分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为 ．
三、简答题（共有4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）如图，在中，点为边的中点，设，．
（1）试用向量，表示下列向量： ； ；
（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）
22．（6分）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植树工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？
四.解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分20分）
23．（8分）已知：如图，在等腰梯形中，，，点为边上一点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
24．（12分）小普同学在研究四边形的过程中发现：对角线互相垂直的四边形有一些优美的结论，例如，其两组对边的平方和相等．
（1）如图1，在四边形中，对角线与互相垂直，垂足为点．求证：；
（2）小普同学把对角线互相垂直的四边形取名为“垂美四边形”．如图2，过点分别作正方形与正方形，且正方形边长为3，正方形边长为4．
①联结、，请你判断四边形是否为“垂美四边形”？并说明理由；
如果，那么 ．
②当时，分别取、的中点、，联结，求长度的取值范围（直接写出答案）．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一.单项选择题（共6题，每题2分，共12分）.
1．（2分）下列函数中，是的一次函数的是
A．B．C．D．
解：．不是一次函数，不符合题意；
．不是一次函数，不符合题意；
、不是一次函数，不符合题意；
、是一次函数，符合题意；
故选：．
2．（2分）下列关于的方程中，属于分式方程的是
A．B．C．D．
解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程不是有理方程，则不符合题意；
中方程符合分式方程的定义，则符合题意；
故选：．
3．（2分）下列事件中，属于确定事件的是
A．在实数中任取一个数，这个数的平方大于0
B．太阳东升西落
C．掷一次骰子，点数为6的一面朝上
D．买一张彩票，中500万大奖
解：．在实数中任取一个数，这个数的平方大于等于0，所以“在实数中任取一个数，这个数的平方大于0”是随机事件，故本选项不符合题意；
．“太阳东升西落”是必然事件，故本选项符合题意；
．“掷一次骰子，点数为6的一面朝上”是随机事件，故本选项不符合题意；
．“买一张彩票，中500万大奖”是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
解：如果和是相反向量，那么，故选项错误；
如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误；
由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误；
如果，那么，正确，故选项正确；
故选：．
5．（2分）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是
A．B．C．D．
解：、当时，平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、当时，平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，，
，平行四边形是矩形，故符合题意；
、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项不符合题意，
故选：．
6．（2分）某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了4分钟，其离家的路程（单位：与出行的时间（单位：变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他
A．仍会迟到3分钟到校B．刚好按时到校
C．可以提前8分钟到校D．可以提前2分钟到校
解：由图象可知，小涵骑单车的速度为
，
若小涵开始时直接骑单车，则前所用的时间为，
则可以节约，
先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了4分钟，
若小涵开始时直接骑单车，则他刚好按时到校．
故选：．
二.填空题（本大题共有12题，每题3分，满分35分）
7．（3分）一次函数的截距为 ．
解：当时，．
故答案为：．
8．（3分）方程的根是 ．
解：两边都除以3，得，
开立方，得，
故答案为：．
9．（3分）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的直线表达式为 ．
解：沿轴向上平移3个单位得到直线：，
故答案为：．
10．（3分）关于的方程的解是 ．
解：方程合并得：，
解得：，
故答案为：
11．（3分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
解：设，则原方程化为：，
方程两边乘得：，
即，
故答案为：．
12．（3分）如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是 八 边形．
解：设这个多边形是边形，
根据题意得，，
解得．
故答案为：八．
13．（3分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ．
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，
摸到的两个红球的概率是．
故答案为：．
14．（3分）已知一个菱形的边长为10，其中一条对角线长为12，那么另一条对角线的长为 16 ．
解：如图，菱形的一条对角线长为12，
，
菱形的对角线，，
，
．
故答案为：16．
15．（3分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 3 ．
解：是的平分线，
，
点、分别为边、的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
16．（3分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 ．
解：如图所示：连接，，
四边形是矩形，
，，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
设，则，
是的垂直平分线，
，
在中，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（3分）新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“双旋点”．如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“双旋点” 的坐标为 ．
解：因为，，
过点分别作轴和轴的垂线，垂足为和，
将代入得，，
即．
将代入得，，
即．
所以．
所以．
又，
所以点和点都在的垂直平分线上，
故垂直平分线段，
所以，
故四边形是正方形．
令，
因为，
所以，
则由得，，
解得，
所以，
故点的坐标为，．
故答案为，．
18．（2分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为 或 ．
解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
点的对应点落在的角平分线上，
，
设，则，
，
又折叠图形可得，
，解得或4，
即或4．
在中，设，
①当时，，，，
，
解得，即，
②当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
三.简答题（本大题共有4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
解：移项得：，
，
，
解得，，
经检验： 是原方程的增根，舍去； 是原方程的解．
所以原方程的解是．
20．（6分）解方程组：．
解：二元二次方程组或，
原方程组的解为，．
21．（6分）如图，在中，点为边的中点，设，．
（1）试用向量，表示下列向量： ； ；
（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）
解：（1），
；
（2）作图如下：
．
22．（6分）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植树工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？
解：设原计划每天栽种棵梧桐树，则实际每天栽种棵梧桐树，
由题意得：，
解得：或（不合题意舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：实际每天栽种500棵梧桐树．
四.解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分20分）
23．（8分）已知：如图，在等腰梯形中，，，点为边上一点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）在等腰梯形中，，，
，（1分）
，
，（1分）
，（1分）
，（1分）
，（1分）
四边形为平行四边形；（1分）
（2），
，（1分）
，，
，（1分）
，（1分）
，（1分）
，（1分）
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．（1分）
24．（12分）小普同学在研究四边形的过程中发现：对角线互相垂直的四边形有一些优美的结论，例如，其两组对边的平方和相等．
（1）如图1，在四边形中，对角线与互相垂直，垂足为点．求证：；
（2）小普同学把对角线互相垂直的四边形取名为“垂美四边形”．如图2，过点分别作正方形与正方形，且正方形边长为3，正方形边长为4．
①联结、，请你判断四边形是否为“垂美四边形”？并说明理由；
如果，那么 ．
②当时，分别取、的中点、，联结，求长度的取值范围（直接写出答案）．
【解答】（1）证明：如图1，，
，
，，，，
，，
．
（2）解：①四边形为“垂美四边形”，
理由：如图2，联结，，，，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
设与交于点，与交于点，
，
，
，
四边形为“垂美四边形”．
，，，，
，，，
由（1）得，
，
故答案为：．
②长度的取值范围是，
理由：如图2，联结，取的中点，联结、，
，，且、分别为、的中点，
，，
，且，，
长度的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
D
B
D
C
B