2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一次函数的图象不会经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为
A．B．C．D．
3．（2分）下列关于向量说法错误的是
A．既有大小，又有方向的量叫做向量
B．向量的大小叫做向量的模
C．长度为零的向量叫做零向量
D．零向量是没有方向的
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．必然事件的概率为1B．随机事件的概率为0.5
C．概率很小的事件不可能发生D．概率很大的事件一定发生
5．（2分）下列说法中正确的是
A．等腰梯形是中心对称图形
B．平行四边形是轴对称图形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
6．（2分）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．（1）（3）是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点；
（2）连接，在的延长线上截取；
（3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
二、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
7．（3分）直线的截距是 ．
8．（3分）方程的实数根是 ．
9．（3分）如果关于的方程无解，那么的取值范围是 ．
10．（3分）如图，直线过点，，那么关于的不等式的解集是 ．
11．（3分）如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为 ．
12．（3分）已知一次函数图象上两点，，，，当 时，，那么的取值范围是 ．
13．（3分）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球．
14．（3分）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为人，那么可列出方程 ．
15．（3分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ．
16．（3分）矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为 ．
17．（3分）如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长的取值范围是 ．
18．（3分）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到△，其中、的对应点分别是点，，如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24题9分，第25题11分，满分52分）
19．（5分）解方程
20．（5分）解方程组：．
21．（6分）如图，平行四边形中，点为中点．把图中的线段都画成有向线段．
（1）填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ，与互为相反向量的向量是 ；
（2）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
22．（7分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程与所用时间的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式及的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
23．（9分）已知：如图，在中，，是边上的高．为线段上的点，以、为邻边作矩形，联结交于点，联结交于点．
（1）如果，求证：四边形为正方形；
（2）联结，如果，求证：四边形为矩形．
24．（9分）如图，在直角坐标平面内，直线与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）联结，如果的面积为6，求直线的表达式；
（2）点在轴负半轴上，点在的延长线上，如果四边形是菱形，求点的坐标．
25．（11分）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角”．
（1）如图1，在梯形中，，点为边上一点，四边形为菱形，点为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”；
（2）在“加和角梯形” 中，为“加和角”， ．
①如图2，如果，，垂足为点，，求梯形的周长；
②如图3，如果，点为边中点，过点作交边于点，，，点在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长．
参考答案
一、选择题（共6小题，每题2分，满分12分）.
1．（2分）一次函数的图象不会经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：在一次函数中，，，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
图象一定不经过第二象限．
故选：．
2．（2分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为
A．B．C．D．
解：原方程可变为，
设，原方程变为：
，
故选：．
3．（2分）下列关于向量说法错误的是
A．既有大小，又有方向的量叫做向量
B．向量的大小叫做向量的模
C．长度为零的向量叫做零向量
D．零向量是没有方向的
解：、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原说法正确；
、向量的大小叫做向量的模，故原说法正确；
、长度为零的向量叫做零向量，故圆说法正确；
、零向量是有方向的，故原说法错误，
故选：．
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．必然事件的概率为1B．随机事件的概率为0.5
C．概率很小的事件不可能发生D．概率很大的事件一定发生
解：、必然事件的概率为1，故符合题意；
、随机事件的概率，故不符合题意；
、概率很小的事件也可能发生，故不符合题意；
、概率很大的事件不一定会发生，故不符合题意；
故选：．
5．（2分）下列说法中正确的是
A．等腰梯形是中心对称图形
B．平行四边形是轴对称图形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
解：．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．菱形的对角线互相垂直但不相等，故本选项不符合题意；
．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故本选项符合题意．
故选：．
6．（2分）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．（1）（3）是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点；
（2）连接，在的延长线上截取；
（3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
解：由作图得：，，
四边形为平行四边形，
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
7．（3分）直线的截距是 ．
解：，
当时，．
故答案为：．
8．（3分）方程的实数根是 ．
解：，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验是原方程的解．
故答案为：．
9．（3分）如果关于的方程无解，那么的取值范围是 ．
解：关于的方程无解，
，
解得：．
故答案为：．
10．（3分）如图，直线过点，，那么关于的不等式的解集是 ．
解：根据函数图象可知，
关于的不等式的解集是．
故答案为：．
11．（3分）如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为 ．
解：直线与直线没有交点，
，
过点，
，解得．
故答案为：．
12．（3分）已知一次函数图象上两点，，，，当 时，，那么的取值范围是 ．
解：时，，
随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
13．（3分）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 8 个球．
解：设有红球个，
袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，
，
解得，
袋子中的球共有（个．
故答案为：8．
14．（3分）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为人，那么可列出方程 ．
解：设实际参加植树的同学人数为人，则原计划有人参加植树活动，
根据题意得：．
故答案为：．
15．（3分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 12 ．
解：从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，
多边形的边数为：．
故答案为：12．
16．（3分）矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为 ．
解：矩形的两条对角线的夹角为：，
矩形对角线相等且互相平分，
为等边三角形，
，
在直角中，，，
，
故矩形的面积为：．
故答案为：．
17．（3分）如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长的取值范围是 ．
解：过点作于，
，
当时，
中位线长为4，
，
当，时，
则，
，
另外一条腰长的取值范围是，
即，
故答案为：．
18．（3分）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到△，其中、的对应点分别是点，，如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
解：过作，作，
由正方形的边长为，点到点、的距离相等，将绕点旋转，得到△，
得，，，
得△，
得，
由四边形是矩形，
得，，，
得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24题9分，第25题11分，满分52分）
19．（5分）解方程
解：去分母，得，（3分）
整理后，得，（5分）
解这个方程，得，，（7分）
检验：把代入，它等于，
所以是原方程的根；
把代入，它等于0，
所以是增根．
原方程的根是．
20．（5分）解方程组：．
解：，
由②得：，
或③，
由③和①组成两个二元一次方程组或，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
21．（6分）如图，平行四边形中，点为中点．把图中的线段都画成有向线段．
（1）填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ，与互为相反向量的向量是 ；
（2）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
解：（1）与相等的向量是，与互为相反向量的向量是，；
故答案为：；，；
（2）如图，即为所求．
22．（7分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程与所用时间的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式及的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
解：（1）由函数图象可得，大巴速度为，
；
当时，，
解得，
；
大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式为，的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为，
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为，
根据题意得：，
解得：，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．
23．（9分）已知：如图，在中，，是边上的高．为线段上的点，以、为邻边作矩形，联结交于点，联结交于点．
（1）如果，求证：四边形为正方形；
（2）联结，如果，求证：四边形为矩形．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
是边上的高，
，
，
即，
，
，，
．
，
四边形是矩形
四边形是正方形；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
24．（9分）如图，在直角坐标平面内，直线与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）联结，如果的面积为6，求直线的表达式；
（2）点在轴负半轴上，点在的延长线上，如果四边形是菱形，求点的坐标．
解：（1）直线与轴交于点，则点，
则的面积，
解得：，
当时，，即点，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（2）如图，设交轴负半轴于点，
四边形是菱形，
则，，
而，
则，
则，
则，
即为二、四象限的角平分线，
故设点在直线上，
联立上式和反比例函数表达式得：，
解得：（舍去）或2，
即点．
25．（11分）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角”．
（1）如图1，在梯形中，，点为边上一点，四边形为菱形，点为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”；
（2）在“加和角梯形” 中，为“加和角”， ．
①如图2，如果，，垂足为点，，求梯形的周长；
②如图3，如果，点为边中点，过点作交边于点，，，点在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长．
【解答】（1）证明：四边形为菱形，
，，
为边中点，
，
，
，
，
即，
梯形为“加和角梯形”；
（2）解：①梯形中，，，
，，，
“加和角梯形” 中，为“加和角”，
，
，
，
分别过点、作、，垂足分别为点，，
，，
，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，，
，，
，，
梯形，
梯形的周长为；
②，，
，，
由为“加和角”，
可得，
，
过点作于点，则四边形为矩形，
，，，
．，
由点为中点，，
则，
，
当时，
，，
则，
则，
，
在中，，，
，，
，；
当时，过点作于点，交延长线于点，作于点，
设，
，，，
则，，，
，
，
解得：，
，
综上，或．