高二数学月考卷（北京专用，人教A版2019）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版 2019 选择性必修第二册第 5 章；选择性必修第三册第 6.7 章
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．某公交车上有 6 位乘客，沿途有 4 个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ）
A． 种 B． 种 C．24 种 D．10 种
【答案】B
【详解】由题意，每一位乘客都有 4 种选择，故乘客下车的可能方式有 种.
故选：B
2．若随机变量 X 服从两点分布， ，则 为（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65
【答案】A
【详解】由分布列的性质可知： ，
又 ，
两式相减易得： ，
故选：A
3．在 的展开式中， 的系数为 10，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
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【详解】因为 的通项为 ，
令 ，解得 ，
则 ，解方程得： .
故选：D.
4．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
如图过点 A 作切线 ，斜率设为 ，过点 B 作切线 ，斜率设为 ，连接 ，得到直线 ，斜率设为 ，
由图可知， .
又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知，
， ，
所以 .
故选：B．
5．函数 在区间 上的最小值与最大值分别为（ ）
A． ，1 B．0，1 C．1， D． ，
2 / 15
【答案】D
【详解】 ， ，
得 或 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以函数的最大值是 ， ， ，所以函数的最小值是 .
故选：D
6．某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 与
年产量 x 的关系是 ，则当总利润 最大时，每年生产产品的单位数是（ ）
A．150 B．200 C．250 D．300
【答案】D
【详解】由题意得，总利润为 ，
当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 时， ；
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，
所以当每年生产 300 单位的产品时，总利润最大．
故选：D.
7．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
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【详解】设函数 ，其定义域为 ．
对 求导，根据求导公式 ， 可得 ．
因为 ，所以 ，则 ．
这表明函数 在 上单调递增．
当 时， ，即 ，移项可得
．
所以由 能推出 ，充分性成立．
当 时，即 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以 时， ．
这说明当 时，不一定有 ，必要性不成立．
因为充分性成立，必要性不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
8．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
9．设正数 ，随机变量 的分布列，若随机变量 的期望为 1，则 最小值为（ ）
0
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为 ，即 .解得 .
已知随机变量 的期望为 ，可得 .
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化简可得： ，进一步变形为 .
将 进行变形，给式子乘以 得到 .
展开式子：
根据基本不等式，有 .
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
10．已知函数 （ ， ）， ，若对 ，不等式 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意， ，
令 ，
则 ， 恒成立，即 恒成立，即 ，
，
令 ，解得 ，
令 ，即 在 上单调递增；
令 ，即 在 上单调递减.
，
， ，
令 ， ，
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减；
5 / 15
，
，即 的取值范围为 .
故选：B
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ．
【答案】
【详解】第一步：排末位，可以选 ，共有 种；
第二步：排前四位，共有 种；
所以组成无重复数字的五位数奇数有 种；
故答案为： ．
12．设随机变量 ，若 ，则 ．
【答案】0.3/
【详解】因为随机变量 ，所以正态分布曲线关于 对称，
又因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以 0.3.
故答案为：0.3.
13．袋子中装有 8 球，其中 6 个黑球，2 个白球，若依次随机取出 2 个球，则在第一次取到黑球的条件下，
第二次取到白球的概率为 ；若随机取出 3 个球，记取出的球中白球的个数为 ，则 的数学期
望 .
【答案】
【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 .
则 .
表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种
取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .
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根据条件概率公式 ，可得 .
随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ， ， .
表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，
从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .
表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为
，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .
表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为
，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .
根据期望公式 可得 .
故答案为： ； .
14．已知函数 ，当 时， 的值域是 ，若 有两个极值点，
则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由 ，则 ，
当 时， ，
易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ；
当 时， ，易知函数 在 上单调递减，则 .
综上可得 .
由题意可设函数 的两个极值点分别为 ，且 ，
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由二次函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
一次函数 ，当 时，在 上单调递减，当 时，在 上单调递增，
易知函数 在 与 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，可得 ，解得 .
故答案为： ； .
15．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史
上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个 7 阶的杨辉三角，
则下列说法正确的有
①．第 2025 行共有 2025 个数
②．第 3 斜列为： ，则该数列的前 项和为
③．70 在杨辉三角中共出现了 3 次
④．记第 行的第 个数为 ，则 .
【答案】②③④
【详解】对于①：行数比每行的个数少 1，所以第 2025 行共有 2026 个数，所以①错误；
对于②：由公式 得：
，所以②正确.
对于③：由组合数可知只有 ，所以③正确，
对于④，记第 行的第 个数为 ，则 ，
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则 ，④正确；
故选：②③④
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（15 分）2025 年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、《 封神 2》、《射雕英
雄传》4 部优秀的影片．现有 4 名同学，每人选择这 4 部影片中的 1 部现看．
(1)如果这 4 名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这 4 名同学中的甲、乙 2 名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神 2》，那么共有多少种
不同的选择方法？
(3)如果这 4 名同学中恰有 2 名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【详解】（1）因为这 4 名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有 种；（5 分）
（2）因为甲、乙 2 名同学选择观看的影片已确定，
所以其余 2 人观看影片的不同方法有 种；（5 分）
（3）因为这 4 名同学中恰有 2 名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有 种.（5 分）
17．（14 分）为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将 道难度相当的数学试题从 到
编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
软件 软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第 题（假设其难度和测试的 道题基本相同），但该
题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为 ，是函数题的概率为 ．将频率视为概率，试
通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
(3)小浦决定采用这两款软件解答 道类似试题，其中几何、函数各 道，每道试题只用其中一款软件解答一
次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软
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件解决其擅长的题型．用 、 分别表示这 道几何试题与 道函数试题被正确解答的个数，求随机变量
的数学期望和方差．
【详解】（1）记 、 软件能正确解答数学问题的概率为 和 ，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得 ， .（4 分）
（2）记“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，
“该题为几何题”为事件 .
则 ， ， ， ， ， ，
由全概率公式可得 .
.
因为 ，所以 软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小浦应该使用 软件来解决这道试题.（10 分）
（3）几何试题用 软件解答，函数试题用 软件解答.
因为 ， ，
由二项分布的期望公式可得 ， ，
由二项分布的方差公式可得 ， ，
因为 、 相互独立，则 ，
.（14 分）
18．（13 分）已知函数 若函数 在 处取得极小值 .
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求 的单调区间和极大值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为函数 在 处取得极小值 ，
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所以 ，解得 ，
此时 ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以当 时， 取到极小值，符合题意．
所以 ．（6 分）
（2）由（1）知， ， ，
，
令 ，则 或 ，
当 时， 或 ，所以 在 ， 上单调递增；
当 时， ， 在 单调递减．
所以 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
当 时，函数 取到极大值，即 .（13 分）
19．（14 分）某艺术研究中心对春节档 6 部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
(1)从这 6 部影片中随机选取 1 部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于 85 分的影片的概率；
(2)现有 4 名观众，每位观众从这 6 部影片中各随机选取 1 部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记 X 为选到普通观众评分与专业观众评
分都低于 85 分的影片的人数，求 X 的分布列及数学期望 .
（ⅱ）若任意 2 名观众不能选看相同影片，记 Y 为选到普通观众评分与专业观众评分都低于 85 分的影片的
人数，试比较这种情况下数学期望 与（ⅰ）中 的大小关系，（结论不要求证明）
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【详解】（1）已知事件 为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于 85 分”，题中给出有 部影片
满足该条件，而影片总数为 部.
根据古典概型概率公式，所以 .（4 分）
（2）（ⅰ）依题意， 的可能取值为 ， ， ， ， .因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分
与专业观众评分都低于 85 分的影片的概率为 ，共抽取 次，所以 服从参数 ， 的二项分
布，即 .
根据二项分布概率公式 可得：
，
， ，
，
，
列出 的分布列：
. （11 分）
（ⅱ）确定 服从的分布及参数：6 部影片中有 4 部普通观众评分与专业观众评分都低于 85 分的影片，4
名观众任意 2 名观众不能选看相同影片，所以 服从超几何分布，其中 ， ， .
求 ：根据超几何分布的数学期望公式 ，可得 .
比较大小：因为 ， ，所以 .（14 分）
20．（15 分）已知函数
(1)讨论函数 的单调性
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(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【详解】（1）首先求 的导数，可得 .
然后分情况讨论：
当 时，因为 恒成立，所以 恒成立.所以 在 上单调递增.
当 时，令 ，即 ，解得 .
当 时， ，所以 .此时 单调递减.
当 时， ，所以 .此时 单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（6 分）
（2）当 时， 恒成立，即 ，移项可得 .
因为 ，两边同时除以 ，得到 恒成立.
令 ，对 求导，可得
.
令 ，对 求导，可得 .因为 ，所以 ，即 .可知
在 上单调递增.
那么 ，即 在 上恒成立.
令 ，即 ，因为 ， ，所以 的解为 .
当 时，即 ，因为 ， ，所以 ，解得 ，即 在 上
单调递增.
当 时，即 ，因为 ， ，所以 ，解得 ，即 在 上
单调递减.
所以 在 处取得最小值， .
因为 恒成立，所以 ，即 的取值范围为 .（15 分）
21．（15 分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
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(2)试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，不等式 恒成立，求整数 的最大值.
【详解】（1）当 时，则 ，
可知 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
所以函数 的最小值为 .（4 分）
（2）由题意可知 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，
所以 的单调递减区间是 ，无单调递增区间；
当 时，令 解得 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
综上所述：当 时， 的单调递减区间是 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .（9 分）
（3）当 时，不等式 恒成立，
即 ，整理可得 ，
原题意等价于 对任意 恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
14 / 15
所以 在区间 上单调递增，
因为 ， ，
所以 在区间 内存在唯一零点 ，
即 ，所以 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
且 为整数，则 ，所以整数 的最大值是 .（15 分）
15 / 15