第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第八节　极值点偏移问题 课件

这是一份第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第八节　极值点偏移问题 课件，共35页。PPT课件主要包含了考点·分类突破，课时·跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
精选考点 | 课堂演练
对称构造法（师生共研过关）
已知函数f（x）＝xe2－x.
（1）求f（x）的极值；
解： 因为f（x）＝xe2－x，所以f'（x）＝（1－x）e2－x，由f'（x）＞0，解得x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，因此f（x）在x＝1处取得极大值e，无极小值.
（2）若a＞1，b＞1，a＜b，f（a）＋f（b）＝4，证明：a＋b＜4.
解： 证明：由（1）可知，f（x）在（1，＋∞）上单调递减，f（2）＝2，因为a＞1，b＞1，a＜b，f（a）＋f（b）＝4，所以不妨设1＜a＜2＜b.要证a＋b＜4，只要证b＜4－a，而b＞2，2＜4－a＜3，所以只要证f（b）＞f（4－a），即证4－f（a）＞f（4－a），即证f（a）＋f（4－a）＜4.令F（x）＝f（x）＋f（4－x），1＜x＜2，则F'（x）＝f'（x）－f'（4－x）
＝（1－x）e2－x－ex－2（x－3），令h（x）＝（1－x）e2－x－ex－2（x－3），1＜x＜2，则h'（x）＝e2－x（x－2）－ex－2（x－2）＝（x－2）（e2－x－ex－2）.因为1＜x＜2，所以x－2＜0，e2－x－ex－2＞0，所以h'（x）＜0，即h（x）在（1，2）上单调递减，则h（x）＞h（2）＝0，即F'（x）＞0，所以F（x）在（1，2）上单调递增，
所以F（x）＜F（2）＝2f（2）＝4，即当1＜x＜2时，f（x）＋f（4－x）＜4，所以原命题成立.
　　对称构造法主要用来解决与x1和x2之和（积）相关的不等式的证明问 题.其解题步骤如下：
（1）定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定 函数的极值点x0；
（3）判断单调性，即利用导数讨论F（x）的单调性；
（4）比较大小，即判断函数F（x）在某段区间上的正负，并得出f（x） 与f（2x0－x）的大小关系；
（5）转化，即利用函数f（x）的单调性，将f（x）与f（2x0－x）的大 小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.
　已知函数f（x）＝xln x－x＋1，若方程f（x）＝b有两个不相等的实 数根x1，x2，求证：x1x2＜1.
换元法（师生共研过关）
证明：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.若f（x）有两个极值点x1，x2，即函数f'（x）有两个变号零点，
解题技法　　换元的目的是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的 关系，然后利用两个极值点之比（差）作为变量，从而实现消参、减元的 目的.设法用比值或差值表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题.
关键能力 | 课后练习
（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求f（x2）的 取值范围.
证明：法一（换元法） 设函数f（x）与x轴的两个交点分别为A（x1， 0），B（x2，0），
（1）若存在实数x，使f（x）＜－1成立，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1＋x2＞2.
解： 证明：∵f（x）有两个不同的零点x1，x2，∴m＝x（1－ln x）有两个不同的实根x1，x2，令g（x）＝x（1－ln x），则g（x1）＝g（x2）＝m，又g'（x）＝－ln x，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝1＞0，g（e）＝0，∴0＜m＜1，不妨设0＜x1＜1＜x2＜e，令h（x）＝g（x）－g（2－x）（0＜x＜1），
∴h'（x）＝g'（x）＋g'（2－x）＝－ln（－x2＋2x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝0，∴g（x）＜g（2－x），即g（x1）＜g（2－x1），又g（x1）＝g（x2），∴g（x2）＜g（2－x1），∵x2＞1，2－x1＞1，∴x2＞2－x1，∴x1＋x2＞2.
4. 已知函数f（x）＝x2＋2 cs x，f'（x）为函数f（x）的导函数.（1）讨论函数f（x）的单调性；
解： f（x）的定义域为R，f'（x）＝2x－2 sin x，令h（x）＝2x－2 sin x，则h'（x）＝2－2 cs x≥0，所以函数h（x）在R上是增函数，又因为h（0）＝0，所以h（x）＜0⇒x＜0，h（x）＞0⇒x＞0，即f'（x）＜0⇒x＜0，f'（x）＞0⇒x＞0，所以函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.
（2）已知函数g（x）＝f'（x）－5x＋5aln x，存在x1，x2且x1≠x2，使 得g（x1）＝g（x2），证明：x1＋x2＞2a.
解： 证明：由（1）得g（x）＝2x－2 sin x－5x＋5aln x＝－2 sin x－3x＋5aln x，x＞0，又g（x1）＝g（x2），即－2 sin x1－3x1＋5aln x1＝－2 sin x2－3x2＋ 5aln x2，所以5a（ln x2－ln x1）＝2（ sin x2－ sin x1）＋3（x2－x1）.　不妨设x2＞x1＞0，所以ln x2＞ln x1.由（1）得当x＞0时，函数f'（x）单调递增，所以2x1－2 sin x1＜2x2－2 sin x2，