江苏省赣州市2024-2025学年下学期期中考试九年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省赣州市2024-2025学年下学期期中考试九年级数学试题（原卷版+解析版），共18页。
1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（ ）
A. 8000000吨B. 160000000吨C. 16000000吨D. 80000000吨
3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P为的黄金分割点，且，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
5. 为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A B.
C. D.
6. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A. B. C. 2D. 1
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式3a2b3的次数是_____．
8. 分解因式：_______．
9. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________．
10. 我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则________．
11. 如图，是一个4×4网格，小正方形边长为1，某同学在正方形网格上用圆规画了一段经过格点A，B，C的圆弧，则图中阴影部分的面积为________．
12. 如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算
（1）；
（2）．
14. 在如图所示方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图（1）中作射线，使的值等于1；
（2）在图（2）中作射线，使的值等于．
15. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；
（2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
17. 如图，在中，，，以为直径的⊙O经过边上的点C，连接，，．
（1）若，求证：是⊙O的切线．
（2）若，求的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 莱西仙足山田园采摘节致力打造“桑葚采摘基地”，吸引了众多游客前来观货、采摘．为了扩大基地规模，计划购买甲、乙两种桑葚树苗共800株，甲种桑葚树苗每株24元，乙种桑葚树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种桑葚树苗的成活率分别为85%，90%．
（1）若购买这两种桑葚树苗共用去21000元，则甲、乙两种桑葚树苗各购买了多少株？
（2）若要使这批桑葚树苗的总成活率不低于88%，则甲种桑葚树苗至多购买多少株？
19. 如图，小明用无人机测量教学楼高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，）
（1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离；
（2）求教学楼的高度．
20. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 课本有如下内容：
请结合教材内容，解决下面问题：
（1）【概念理解】
如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形；
（2）【性质探究】
①如图1：小文通过连接筝型的一条对角线得到一对全筝的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相筝”，这两个三角形全筝的理由是：_____；
②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条：
（3）【拓展应用】
①如图3，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：_____
②填空：如图4，在筝形中，过点D作交BC于点E，若，，则的长为_____．
③如图，如果点为内一点，平分，且，求证：．
22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，在等边中，分别是边上的点，且．
【问题解决】
（1）求出度数；
【操作提升】
（2）如图2，将绕点C逆时针旋转到，连接，连接交于点O，求证：
【拓展探究】
（3）如图3，延长交于点P，若点P恰好是中点．
①请直接写出：值为_______；
②若，求的长．
2024—2025学年第二学期期中考试
九年级数学试题卷
说明：
1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是2，
故选：D．
2. 我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（ ）
A. 8000000吨B. 160000000吨C. 16000000吨D. 80000000吨
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案．
【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨．
故选：C．
3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】它的主视图是：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P为的黄金分割点，且，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】∵，的长度为，
∴
∴
∴．
故选：D．
5. 为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可．
【详解】解：当时，；
当时，，
故与的函数关系式为，
观察各选项，选项中的图象符合，
故选：．
6. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式3a2b3的次数是_____．
【答案】5
【解析】
【详解】解：根据单项式的次数的定义知：该单项式的次数为：5
故答案为:5.
8. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
10. 我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积是100，
∴．
∵小正方形的面积是4，
∴小正方形的边长为2，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
故答案为：．
11. 如图，是一个4×4的网格，小正方形边长为1，某同学在正方形网格上用圆规画了一段经过格点A，B，C的圆弧，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求扇形的面积．证明，利用勾股定理求得，再利用阴影部分的面积为，计算即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
12. 如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】过点B作轴于点D，求出，由反比例函数对称性可知还可以经过点，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：如图，过点B作轴于点D，
，
，，
，
．
，
．
根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．
若点B经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了；
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
综上可知，绕着点顺时针旋转或后使顶点依然在该反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据异分母分式的减法计算即可；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了异分母分式的减法，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，熟练掌握公式和法则是解题的关键．
14. 在如图所示方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图（1）中作射线，使的值等于1；
（2）在图（2）中作射线，使的值等于．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用网格特点作图，理解角的正切值的定义是解决问题的关键．
（1）如图，取格点，连接并延长即可；
（2）方法1：取格点，连接并延长即可；
方法2：取格点，连接交网格线于点，连接并延长即可．
【小问1详解】
解：如图，取格点，连接并延长，连接，

由勾股定理可知，，，
则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
故，射线即为所求；
【小问2详解】
方法1：取格点，连接并延长，
∵，，
∴，
故，射线即为所求；
方法2：取格点，连接交网格线于点，连接并延长，
由网格特点可知，点为的中点，则，
同（1）可知，，
∴，
故，射线即为所求．
15. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；
（2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率．
【答案】（1）不可能 （2）系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是．
【解析】
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件；
（2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，
∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件，
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，
则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
17. 如图，在中，，，以为直径的⊙O经过边上的点C，连接，，．
（1）若，求证：是⊙O的切线．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，，可得，，结合即可得到答案；
（2）连接，根据为⊙O的直径得到，即可得到，根据，可得，结合，可得，根据，得到，从而得到，即可得到的度数，即可得到，根据勾股定理求出半径，利用弧长公式即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
【点睛】本题考查切线证明，圆周角定理，直角三角形角所对直角边等于斜边的一半，求弧长公式，解题的关键是做辅助线等到相应角度转化．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 莱西仙足山田园采摘节致力打造“桑葚采摘基地”，吸引了众多游客前来观货、采摘．为了扩大基地规模，计划购买甲、乙两种桑葚树苗共800株，甲种桑葚树苗每株24元，乙种桑葚树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种桑葚树苗的成活率分别为85%，90%．
（1）若购买这两种桑葚树苗共用去21000元，则甲、乙两种桑葚树苗各购买了多少株？
（2）若要使这批桑葚树苗的总成活率不低于88%，则甲种桑葚树苗至多购买多少株？
【答案】（1）甲种桑葚树苗购买了500株，乙种桑葚树苗购买了300株
（2）甲种桑葚树苗至多购买320株
【解析】
【分析】（1）设购买甲种桑葚树苗x株，乙种桑葚树苗y株，根据：“甲、乙两种桑葚树苗共800株、购买这两种桑葚树苗共用去21000元”列出方程组求解即可得；
（2）设购买甲种桑葚树苗z株，则乙种桑葚树苗为（800-z）株，根据：“甲种桑葚树苗成活数量+乙种桑葚树苗成活数量≥甲乙两种桑葚树苗成活的总数量”列不等式求解可得．
【小问1详解】
解：设甲种桑葚树苗购买了x株，乙种桑葚树苗购买了y株．
由题意得：，
解得：，
答：甲种桑葚树苗购买了500株，乙种桑葚树苗购买了300株．
小问2详解】
设购买甲种桑葚树苗z株，则购买乙种桑葚树苗（800-z）株，
由题意得：85%z+90%（800-z）≥800×88%，
解得：z≤320．
答：甲种桑葚树苗至多购买320株．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意抓准相等关系和不等式关系列出方程组或不等式是解题的关键．
19. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，）
（1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离；
（2）求教学楼的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，
（1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出；
（2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【小问1详解】
解：如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
∵
∴在中，
∴
∴
∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为；
【小问2详解】
解：在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
．
20. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
【答案】（1）补全条形统计图见解析，54
（2）640人 （3）甲
【解析】
【分析】（1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数；
（2）用1600乘样本中D所占比例即可；
（3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答．
【小问1详解】
解：总人数：（人），
D组人数：；如图：
A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54；
【小问2详解】
解：去海洋馆：（人）
答：该校约有640名学生想去海洋馆；
【小问3详解】
解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
∴甲班10名学生的成绩的平均数：，
甲班10名学生的成绩的众数：90；
甲班10名学生的成绩的中位数：，
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21 课本有如下内容：
请结合教材内容，解决下面问题：
（1）【概念理解】
如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形；
（2）性质探究】
①如图1：小文通过连接筝型的一条对角线得到一对全筝的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相筝”，这两个三角形全筝的理由是：_____；
②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条：
（3）【拓展应用】
①如图3，在中，，，点、分别是边，上动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：_____
②填空：如图4，在筝形中，过点D作交BC于点E，若，，则的长为_____．
③如图，如果点为内一点，平分，且，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①；②有一条对角线平分一组对角，一条对角线垂直平分另一条对角线（答案不唯一）；
（3）①或；②8；③见解析
【解析】
【分析】（1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可；
（2）①利用证明，即可得出结论；
②利用证明结合垂直平分线的判定，即可得出结论；
（3）①分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可；
②根据平行线的性质和角平分线得到，进而得到，进而求解即可；
③过点B作，，证明出，得到，然后由等边对等角得到，进而求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，四边形即为所求；
【小问2详解】
解：①在与中，
，
∴，
∴
∴这两个三角形全筝的理由是：；
②有一条对角线平分一组对角，一条对角线垂直平分另一条对角线（答案不唯一），
证明：在与中，
，
∴，
∴，，
即平分、；
∵，
∴垂直平分；
【小问3详解】
解：①分两种情况：当筝形中，时，如图，
∴；
当筝形中，时，如图，
∵
∴
∴
综上，当四边形为筝形时， 的度数为或；
②∵
∴
∵
∴
∴
∴；
③如图所示，过点B作，
∵平分，
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】（1）
（2）
（3）这棵树的高为2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵点是抛物线上的一点，
把点代入中，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴抛物线最高点对坐标为；
【小问3详解】
解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵点B是的三等分点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为1，
将代入中，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
答：这棵树的高为2．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，在等边中，分别是边上的点，且．
【问题解决】
（1）求出度数；
【操作提升】
（2）如图2，将绕点C逆时针旋转到，连接，连接交于点O，求证：
【拓展探究】
（3）如图3，延长交于点P，若点P恰好是的中点．
①请直接写出：的值为_______；
②若，求的长．
【答案】（1）（2）见解析；（3）①，②．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质先证明，再结合，，证明即可；
（2）根据，，结合绕点C逆时针旋转到，
得到等边三角形，于是得到，结合，得到，于是得到四点共圆，得到．
（3）①根据等边，得到；根据绕点C逆时针旋转到，得到等边三角形，于是得到，于是得到，得到菱形，继而得到，得到，得，结合点P恰好是的中点，得到，代换计算即可．
②过点P作交的延长线于点G，求得，证明，得到；再证明，求得，结合．
【详解】（1）解：∵等边，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴
∵绕点C逆时针旋转到，
∴等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴．
（3）①∵等边，
∴；
∵绕点C逆时针旋转到，
∴等边三角形，
∴，
∴，
∴菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点P恰好是的中点，
∴，
∴，
∴．
②解：过点P作交的延长线于点G，
∵，
∴，，
∵，点P恰好是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点P恰好是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵绕点C逆时针旋转到，
∴等边三角形，
∴，
由（1），得，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四点共圆及其性质，
活动2用全筝三角形研究“筝形”
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相筝的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸筝方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全筝三角形的知识证明你的猜想．
活动2用全筝三角形研究“筝形”
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相筝的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸筝方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全筝三角形的知识证明你的猜想．