湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：杨铎 审题人：张成
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. （ ）
A. B. C. D.
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知平面向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 10
6. 已知函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 下列命题为假命题的有（ ）
A. 若“”，则“”
B. 若“”，则“，”
C. 函数单调递减区间为
D. 函数的最小值为5
10. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A B.
C. D. 向量与向量垂直
11. 下列结论正确的有：（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12 已知向量，，若，则__________．
13. 若，则______.
14. 已知函数的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，．
（1）求最小值；
（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围．
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，当时，求不等式的解集.
17 已知函数，．
（1）若，求方程的解；
（2），不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
18. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值.
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
襄阳四中2024级高一年级3月月考
数学试卷
命题人：杨铎 审题人：张成
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简即可求出.
【详解】
,
故选：
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立，
若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立，
∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件.
故选：C.
3. 已知平面向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，所以，得，
所以，
由，得，
即与的夹角为.
故选：D
4. 若，，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由指数式转化为对数式，利用对数的换底公式，可得答案.
【详解】由，，得，，所以．
故选：D.
5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算.
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以.
已知，将换为，可得，又因为，所以.
由和可得.
令，则，那么，又因为，所以，
即，所以函数的周期是，所以.
在中，令，可得，即，解得，所以.
故选：A.
6. 已知函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，，
因为函数，在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，
所以，
故选：D.
7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解.
【详解】因为，所以，
所以当时，解得即为在的一条对称轴,
当时，解得或，
即或为在与轴的两个交点，
又因为是方程在的解，
所以由图像的对称性可知，，
且，所以，
所以.
又因为，，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：
关键一：由图像的对称性得到，
关键二：利用，把转化成.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 下列命题为假命题的有（ ）
A. 若“”，则“”
B. 若“”，则“，”
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数的最小值为5
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用反例可判定A，利用余弦函数的性质可判定B，由复合函数的单调性可判定C，利用基本不等式结合同角三角函数的基本关系可判定D.
【详解】对于A，若，显然，即A错误；
对于B，由余弦函数的性质可知若“”，
则“或，”，即B错误；
对于C，易知在上单调递减，定义域上单调递增，
由复合函数的单调性知C正确；
对于D，化简，
当且仅当时取得等号，显然sinx=2>1不符合三角函数有界性，
即D错误.
故选：ABD
10. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与向量垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律以及垂直向量的数量积表示，逐项检验，可得答案.
详解】对于A，，所以A正确；
对于B，，
所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，这样向量与垂直，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列结论正确的有：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式判断A，D，利用同角三角函数的基本关系判断B，利用两角和差的正余弦公式判断C即可.
【详解】对于A，左边，
，
右边，故A正确；
对于B，左边，
，故B错误，
对于C，左边，
，
右边，故C正确，
对于D选项：左边，
右边，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算求解.
【详解】因为向量，，
所以，
又因为，所以，解得．
故答案为：.
13. 若，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用两角和差的正弦公式化简题干中式子，再利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可.
【详解】
，即，
则.
故答案为：.
14. 已知函数的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的部分图象及周期公式求出函数的解析式，进而得到解析式，由已知条件得出，再结合有三个零点列出不等式组即可求解.
【详解】由图可知，，则图象的一条对称轴为，
设函数的最小正周期为，则，即得，故，
又由可得，又因图象在点附近为减函数，
则，即，因，故得，
则，于是，
当时，，
依题意需使，即，解得，
于是，，，
因函数在上的零点为，
又函数上恰有3个零点，
故有或，
解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在确定后，必须就所在区间的左右端点的范围列举出函数的零点，根据题意列出对应的不等式组，求解才可.
四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，．
（1）求最小值；
（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可；
（2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解.
【小问1详解】
由题意，
因为，，所以
所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以最小值是；
【小问2详解】
因为，，
所以，
设，共线，即设，
因为向量与不共线，
所以，解得，
若与的夹角为钝角，
则，且，
解得的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，当时，求不等式的解集.
【答案】（1）；，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简原函数，再利用周期性的定义求解最小正周期，最后结合整体代入法求解单调区间即可.
（2）利用正弦函数的性质结合给定条件求解不等式即可.
【小问1详解】
因，
，
，
则的最小正周期是，
令，，解得，，
故的单调递增区间是，.
【小问2详解】
因为将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的3倍，所以经过变换可得，
由题意得，
即，所以，，
解得，，
令，则，时，，
所以当时，不等式的解集为.
17. 已知函数，．
（1）若，求方程的解；
（2），不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数化为，设，得到关于的方程，解方程即可求得结果；
（2）根据正弦函数值域可将问题转化为在上恒成立，分离变量，结合二次函数最值可求得结果.
【小问1详解】
，
设，，，
方程可化为：，解得：或，或.
【小问2详解】
当时，，；
由（1）知：可化为，
当时，，在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，，解得：，
即实数的取值范围为.
18. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积；
（2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值.
【小问1详解】
设 与 相交于点 ，则 ，
可得 ， ，
因为 等于 到 的距离，
所以，
即 的面积为 .
【小问2详解】
过点 作 于点 ，则 ，
且三角形区域 面积为
，
设 ，由 ，得
所以 ，
结合 ，可得
当 时， 取得最大值，
即三角形区域 面积的最大值为 .
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3），的最大值为1.
【解析】
【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可；
（2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值；
（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.
【小问1详解】
，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
【小问2详解】
由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
【小问3详解】
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.
【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键.