湖北省部分高中2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省部分高中2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版），文件包含2026年北京市海淀区初三下学期一模化学试卷和答案docx、2026年北京市海淀区初三下学期一模化学试卷和答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
祝考试顺利
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D. 0
5. 设，若为函数的极小值点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
10. 下列说法正确是（ ）
A. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法
B. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种
C. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种
D. 2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种
11. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在点处的切线方程为，则_____.
13. 已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______.
14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：
（1）恰好取到2个红球的概率；
（2）至少取到1个红球概率.
16. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调区间.
17. 在的展开式中，
（1）求有理项的个数；
（2）系数最大的项是第几项?
18. 已知函数.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；
（3）已知，若存在，使得，求证：.
19 已知函数，其中.
（1）若偶函数，求；
（2）当时，讨论函数在上的零点个数；
（3）若对，求的取值范围.
（注：记，可用含的表达式表示）
2025年湖北省部分高中春季高二年级期中联考
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
祝考试顺利
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.
【详解】由，则，
.
故选：C.
2. 5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解.
【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个社团有种，
所以不同的报名方法有种.
故选：B.
3. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求；
【详解】，
则斜率，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】令，可得，
令，可得，
所以，
故选：A
5. 设，若为函数的极小值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导，令，解得或，然后分和，结合的正负讨论判断函数的极值点即可.
【详解】∵，
∴.
令，解得或.
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意，
综上，一定成立.
故选：D.
6. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可.
【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D，
设，则，
所以当时，；当时，，即，
所以当时，，可排除A；当，，可排除A，
综上，C为正确选项.
故选：C
7. 已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答.
【详解】令函数，而函数是偶函数，则，
即函数是奇函数，当时，求导得，
即函数在上递增，则在上递增，
因为，所以，即，
所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.
故选：D
8. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的定义域，求导，根据函数有3个零点，可得在有两个变号零点，结合二次函数根的分布列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域满足：，解得，
则函数的定义域为：，
，
要使得函数有3个零点，则在有两个变号零点，
令整理得，所以，
解得，故实数的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，若，则，故选项A正确；
对于B，若，则，故选项B错误；
对于C，若，则，故选项C正确；
对于D，若，则，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法
B. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种
C. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种
D. 2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种
【答案】AD
【解析】
【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余4个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；
对于B：2名男生相邻，有种排法，和剩余5名女生排列，相当于6人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误；
对于C：先排5名女生，共有种排法，且形成6个空位，再排2名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C错误；
对于D：由C选项可得2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种，故D正确.
故选：AD
11. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，参变分离后结合余弦函数的性质即可得k的取值范围，从而得所求．
【详解】定义在上的函数满足，则为奇函数，
所以，所以，
则当时，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
所以在上递增，
不等式转化为：，
所以，即，
因为，所以，则，故
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在点处的切线方程为，则_____.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，利用导数几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解.
【详解】∵，∴，.
∵函数在点处的切线方程为，
∴，，
解得，，∴.
故答案：.
13. 已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意可得，结合组合数公式运算求解.
【详解】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得，
又因为，即，
可得，整理可得，解得，
故答案为：5.
14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解.
【详解】不等式，可化为，，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，，所以，，则，
所以不等式，即为，
，即对恒成立，
令，则，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
，则，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：
（1）恰好取到2个红球的概率；
（2）至少取到1个红球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解；
（2）根据对立事件的概率关系结合古典概型的概率公式求解.
【小问1详解】
设“恰好取到2个红球”为事件A，则；
【小问2详解】
设“至少取到1个红球”为事件B，则.
16. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）的单调增区间为，单调减区间.
【解析】
【分析】（1）求出导数，由，代入求得，得解；
（2）根据导数，判断导数正负得解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以，
又，所以，
故函数解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
令，得，（舍），
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
17. 在的展开式中，
（1）求有理项的个数；
（2）系数最大的项是第几项?
【答案】（1）4个 （2）第8项
【解析】
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；
（2）设第项的系数最大，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由二项式定理知，
要为有理项则，因为，且，
所以，故有理项有4个；
【小问2详解】
设第项的系数最大，则
解得，
又，故.
所以系数最大的项为第8项
18 已知函数.
（1）当时，求在点处切线方程；
（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；
（3）已知，若存在，使得，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导确定斜率及切点纵坐标，即可得切线方程；
（2）法一：将不等式转化为对恒成立，，构造函数，求导确定其单调性及最小值即可求得的取值范围；法二：将问题转化为当时，，求导，讨论单调性确定的最大值，即可得的取值范围；
（3）确定函数的单调性可得，要证，只需证明，令，求导确定单调性即可得结论.
【小问1详解】
当时，所以，所以
又，故所求切线方程为，即
【小问2详解】
方法一：原命题等价于对恒成立，
令，则，
∵，令∴
∴在单调递增，在单调递减
又，，又，所以
故的取值范围为.
方法二：由题意知，当时，，又，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以，
②当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上单调递增，，
所以，（舍去），
当即时，在上单调递减，，所以
当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为.
【小问3详解】
∵，令，得
则在单调递减，在单调递增
又且，所以
要证，只需证明，
因为，，且函数在区间上单调递增，
所以只需证明，又因为，即证，
令，
即，注意到，
因为，
则在上单调递减，所以在恒成立，
所以.
19. 已知函数，其中.
（1）若是偶函数，求；
（2）当时，讨论函数在上的零点个数；
（3）若对，求的取值范围.
（注：记，可用含的表达式表示）
【答案】（1）
（2）2个 （3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义，并结合两角和差的正弦公式化简即可；
（2）通过导函数研究的单调性，最后结合零点存在性定理即可判断；
（3）先用必要性探路缩小的范围，再通过导函数研究的单调性，使即可.
【小问1详解】
由题意可知，即
即，即
则，又，故.
【小问2详解】
当时，，则，
令，则恒成立，
故在上单调递增，
又，，故使得，
则得；得，
故在单调递减，在单调递增，
又因，则，
又，则在上存在一个零点，
故在上有2个零点.
【小问3详解】
因对恒成立，
则当时，上式必然成立，此时，又因，则；
当时，，
令，则，
则在上单调递增，则，
（i）若，则，则在上单调递增，
则，符合题意；
（ii）若，则，，
则由零点存在性定理可知，使得，即①，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则②，
因，，则，
若，②式显然成立，
若，即，
则联立，得，得或（舍），
因，则，即，
则，则，
因，则，则，
则
综上可知，的取值范围是.