上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了 若，则n的值是______．， 设，则______等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 若函数的导函数存在，且，则_________.
2. 若，则n的值是______．
3. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________.
4. 随机变量服从二项分布，则______.
5. 已知随机变量的分布为，则__________.
6. 将一枚质地均匀骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________.
7. 已知函数，则__________．
8. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______．
9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______.（用数字作答）
10. 设，则______.
11. 已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________.
12. 已知集合，且，则集合所有可能的情况有_____________种.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13. 若为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
14. 设、是两个事件，以下说法正确的是（ ）．
A. 若，则事件与事件对立
B. 若，则事件与事件互斥
C. 若，则事件与事件互斥且不对立
D 若，则事件与事件相互独立
15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
16. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17. 在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”.
（1）观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率；
（2）记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率.
18. 二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
19. （1）若=64，其中是正整数，求展开式常数项；
（2）若展开式中第2项系数为，求展开式中的系数.
20. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；
（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则
21. 设函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求的单调区间；
（3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
嘉定二中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 若函数的导函数存在，且，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据导数的概念可得答案.
【详解】函数的导函数存在，且.
即.
故答案为：4
2. 若，则n的值是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.
【详解】根据组合数性质，且，
所以.
故答案为：10
3. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________.
【答案】0.18
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（），
则，且两两互斥，依题意，，
，
所以成绩是优秀的概率为
.
故答案为：0.18
4. 随机变量服从二项分布，则______.
【答案】8
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式求，然后由方差性质可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：8
5. 已知随机变量的分布为，则__________.
【答案】7.64
【解析】
【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解.
【详解】由题意可得,
所以,
故答案为：7.64
6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件；
其中满足的有：，共个基本事件，
所求概率.
故答案为：.
7. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数求导法则求出导数，代入求值即可.
【详解】由函数，求导可得，
所以.
故答案为：.
8. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案.
【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况，
事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故，
若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即.
所以.
故答案为：
9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______.（用数字作答）
【答案】408
【解析】
【分析】先计算当“数”和“乐”两次不相邻的情况数，再计算其中“射”在第一次的情况数相减即可.
【详解】当“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序有种，
当讲座次序要求“射”在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，
则“六艺”讲座不同的次序有种，
则六艺”讲座不同的次序共有480﹣72＝408种．
故答案为：408．
10. 设，则______.
【答案】4083
【解析】
【分析】根据二项式定理的展开式的通项确定系数与二项式系数的关系，即可得结论.
【详解】
又展开式的通项可为
.
故答案为：4083.
11. 已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题.
【详解】由于函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立，
由在上单调递增，则，
.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
12. 已知集合，且，则集合所有可能的情况有_____________种.
【答案】500
【解析】
【分析】由题意分类讨论，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】设初始状态为：
中元素：，中元素：，为空集.
现将元素往三个集合中放，
有两种放法，放在集合中或者不放在集合中；同，有两种放法.
对于，分两种情况：放在集合中或者不放在集合中.
当放在中时，可以不放在集合与集合中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合中，共3种放法；当不放在集合中时，必须放在集合或集合中，共两种放法，故对于，共5种放法.
同，有5种放法，同，有5种放法，
由分步乘法计数原理得，共有种.
故答案为：500.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13. 若为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数的含义可求答案.
【详解】因为表示共有9个因式的乘积，
所以，
故选：D
14. 设、是两个事件，以下说法正确的是（ ）．
A. 若，则事件与事件对立
B. 若，则事件与事件互斥
C. 若，则事件与事件互斥且不对立
D. 若，则事件与事件相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可.
【详解】对于A和B，例如抛掷一枚质地均匀骰子，
记事件为“出现偶数点”，事件为“出现1点或2点或3点”，
则，，，
但事件，既不互斥也不对立，故A和B错误；
对于C，在不同的试验下，即使，也不能说明事件与事件一定互斥， 故C错误；
对于D，根据相互独立事件的定义可知，若，
则事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项.
【详解】对于A，由图象知上取正值，所以在上递增，A错误；
对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；
对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误；
对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性.
16. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案.
【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有，
即，
令，不妨设，
则有，
所以，
所以在R上单调递增，
所以在R上恒成立，
即在R上恒成立，
令，
则，令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以.
即的最大值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17. 在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”.
（1）观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率；
（2）记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率.
【答案】（1）样本空间；事件对应的集合，概率为；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解；
（2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型的概率公式可得解.
【小问1详解】
由已知样本空间，
若函数有两个不等的零点，则，
解得或，
事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”
所以事件对应的集合为，
则；
【小问2详解】
若函数在上是严格增函数，
则，即，
所以事件对应的集合为，
则事件，事件至少一个发生对应的集合，
则.
18. 二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
【解析】
【分析】（1）分和讨论计算即可；
（2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可.
【小问1详解】
由题意，当时，，
当时，.
所以.
【小问2详解】
当时，，令，解得.
当，，当，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，
当时，，当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
19. （1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项；
（2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数.
【答案】（1）-160；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二项式系数的性质得，求出二项式的展开式通项，令求解即可；
（2）先由第2项系数求得，再根据分配律，结合二项式通项公式即可求解.
【详解】（1）二项式的展开式的所有二项式系数和为，则，
所以二项式的展开式通项公式为，
，1，，6，令，解得，所以展开式的常数项为；
（2）二项式的展开式的第二项为，
则，解得，
所以多项式的展开式中含的项为，
所以的系数为.
20. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；
（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则
【答案】（1）分布列见解析，
（2）方案二，理由见解析
（3）（万元）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望；
（2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可；
（3）根据正态分布，利用给定区间的概率计算即可得解.
【小问1详解】
对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，
， ，
， ，
∴的分布列为：
期望值.
【小问2详解】
对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，
， ，
， ，
∴的期望值
∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.
【小问3详解】
由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，
则给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为，
所以获得奖金的职工数约为
.
（人）
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
21. 设函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求的单调区间；
（3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解；
（2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间；
（3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果.
【小问1详解】
若，则，从而，
故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线.
又，故所求切线方程为.
【小问2详解】
由，知.
当时，，故在上单调递增；
当时，；
从而的解集是，的解集是.
这表明在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
首先我们有
当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减.
这意味着当时，；当时，.
故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
而，故在上单调递增.
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
故在上单调递增.
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递减.
注意到此时，故当时，；
当时，.
从而在上单调递增，在上单调递减，
这说明是的极大值点，满足条件.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键点在于附近的单调性，从而在的情况下，需要仔细比较和的大小关系，也就是和的大小关系，这是分类讨论的一大出发点.
3
4
5
6