河南部分高中2025届高三下学期4月青桐鸣大联考 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为偶函数，则实数（ ）
A．0B．1C．D．
3．已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．已知随机事件满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：
由上表可得经验回归方程为，则（ ）
A．0.206B．C．0.596D．
8．函数在上的零点和极值点的个数分别为（ ）
A．5，3B．5，4C．3，4D．3，2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
10．已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．和的面积之和的最大值为1
D．若，则
11．记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在正整数，对于任意的正整数，均有
C．对于任意的正整数，均有
D．存在正整数，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为椭圆上一点，且直线与有且仅由一个交点，则的焦距为 .
13．设函数，若，，则当取得最小值时， .
14．已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异.
(1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为.
（i）求的值；
（ii）求的分布列和期望.
16．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，，.点满足，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
17．记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求的面积.
(2)若.
（i）求的值；
（ii）求内切圆的半径.
18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有.
(1)求的离心率；
(2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点.
19．若，则称是和的减比中项.
(1)若是和的减比中项，求的取值范围.
(2)已知数列满足，，数列满足，，存在正数，使是和的等比中项，且是和的减比中项，.
（i）证明：是和的减比中项；
（ii）记数列的前项和为，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，.
故选B.
2．【答案】C
【详解】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立，
可得，故.
故选C
3．【答案】D
【详解】，，或，充分性不成立；
，，和相交、平行或异面，必要性不成立.
故选D.
4．【答案】A
【详解】，；
，，.
故选A.
5．【答案】D
【详解】设，由抛物线的定义可得，解得，
代入的方程可得，故直线的斜率为.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
令，则，解得或，
即或（舍去），所以.
故选C.
7．【答案】D
【详解】由表格中数据得，
，
代入方程得，，解得，因此.
由两边取对数，得.
又，所以，，即.
故选D
8．【答案】B
【详解】令，所以或，
又，所以，即在上有5个零点；，
令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，在区间上有2个解，故在上有4个变号零点，即在上有4个极值点.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】；
对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，
即，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，不是定值，D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：由题意得，，故A正确；
对于B：若，则，又因为，所以或，
若，则，此时，
若，则，此时，故B正确；
对于C：，
，，
所以，
整理得，
所以和的面积之和的最大值为，故C错误；
对于D：若，注意到在单位圆上，
当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，
故为以为斜边的等腰直角三角形，
所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即.
因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即，
代入，得，即，也即，所以或.
若，那么，所以，但不为等比数列，所以假设不成立，则，得，检验得为等差数列，为等比数列，故A正确.
对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大项，
令，即解得，
令，解得，
又，所以，即最大项不唯一､因此不存在符合题意的正整数，故B错误.
对于C，D，因为.
记，注意到，所以，
于是，因此对于任意的正整数，均有，故C正确，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】将代入椭圆方程，得到，
又因为直线与仅有一个交点，所以，
进而解得，所以的焦距为.
13．【答案】
【详解】，
（当且仅当，即时取等号），
，则，即（当且仅当时取等号），
.
14．【答案】
【详解】，因为，
所以，解得，故，
故在处的切线方程为，
故坐标原点到曲线在点处的切线的距离为.
15．【答案】(1)7.27小时.
(2)（i）；（ii）分布列见解析，.
【详解】（1）记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时，
则（小时），
故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时.
（2）（i）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”，
则表示“近期压力过大”的频率为，
由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故，
则，，
故.
（ii）因，
则，，
故其分布列如下表所示：
故期望.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）四边形是正方形，，
又，，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）取上一点满足，连接，
，，且，
四边形为平行四边形，，，
又，，
平面平面，平面平面，平面，平面.
，，平面，，
平面.
则以为坐标原点，的方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，，，
由可知：，解得：，，
（3）由（2）得：，，，
记平面的法向量为，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由正弦定理得：，
，，
.
（2）（i），，，
，，，
，解得：；
（ii）由（i）得：，
，
，，
内切圆半径.
18．【答案】(1)
(2)过定点，证明见解析
【详解】（1）设，则，
当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为，
代入的方程，得，则，则，
因，则，即，解得（负值舍去），
故的离心率为.
（2）由（1）可知，，
因直线不与轴平行，故设直线，设，
联立，得，
则，
因为，且是线段的中点，则，
所以，即，
因，，
所以，
即，
即
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足，则过定点，
则直线过定点.
19．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）若是和的减比中项，则，
（当且仅当时取等号），，
即的取值范围为.
（2）（i）是和的减比中项，，
又为正数，为正项数列，.
，为正项数列，
，，
，即，
是和的减比中项.
（ii），，
又，，，，易得，
，即，
由（i）有：，，
.2
3
4
5
6
1.02
1.20
1.42
1.62
1.84
睡眠时长/小时
人数
5
12
28
36
17
2
0
1
2
3