广西2025届“武鸣高中-贵百河”高三下学期4月联考测试 数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知（i为虚数单位），则（ ）
A．1B．C．2D．4
3．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1B．1或9C．9D．3
4．空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A．2B．C．D．
6．已知函数的周期为1，且在上单调递减，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
7．若正整数a，b满足等式，且，则（ ）
A．1B．2C．2022D．2023
8．定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，、分布如图所示，且，，则（ ）
A．样本正相关B．
C．D．处理后的决定系数变小
10．已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为5
11．如图，在长方体中，为棱上一点，且，平面上一动点满足是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为，则下列结论正确的是（ ）
A．长方体外接球的半径为
B．点到平面的距离为
C．球心到平面的距离为
D．点的轨迹在内的长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为锐角，且，则 ．
13．已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ．
14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在△ABC中，.
(1)求A；
(2)证明：.
16．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
(2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
17．如图，在四棱雉中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面．
(1)作出点在平面的射影，并证明平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
18．设函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在上为增函数，求a的取值范围；
(3)证明：.
19．已知圆和点
(1)过点M作圆O的切线，求切线的方程；
(2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
(3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，，，则.
故选B．
2．【答案】A
【详解】依题意，，所以.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由题意可得，即，又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以．
故选C.
4．【答案】A
【详解】由，可以推出与所成角为，
但与所成角为时，或，
所以是与所成角为的充分不必要条件.
故选A.
5．【答案】A
【详解】由，
得或，
设方程的两个根为，方程的两个根为，
则，
因为函数的对称轴都是，
则不妨设，
又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列，
则，所以，
设等差数列的公差为，则，解得，
则等差数列为，
所以，则.
故选A.
6．【答案】C
【详解】对于A，的周期为，当时，，
所以不单调，故A错误；
对于B，的周期为可知的周期为2，故B错误；
对于C，的周期为，当时，，
所以单调递减，符合题意，故C正确；
对于D，因为的周期为，不合题意，故D错误.
故选C．
7．【答案】D
【详解】∵
，
∴.
故选D.
8．【答案】D
【详解】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”；
对选项B：，在上单调递减，
时，，时，；
在上单调递增，时，，时，，
所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”；
对选项C：，令，
则，即，显然是“坚定点”；
对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”．
故选D.
9．【答案】BC
【详解】A，经验回归方程的斜率，则样本负相关，故A错误；B，原样本，因回归方程过样本中心，
则，解得，故B正确；
C，由已知的、分布图可知，的集中度更高，则更小，故C正确；
D，由图可知，图2的残差波动范围更接近轴，拟合效果更好，决定系数更大， D错误．
故选BC．
10．【答案】ABD
【详解】解：由得，
因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，
此时的另外一个根，所以，
因为方程有3个实数根，它们分别是，，2，
所以，所以，
且，
所以，则，
所以，
因为，所以，所以的最小值是5，
故选ABD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，长方体外接球的半径，故A正确.
对于B，以为A一顶点，为以A为顶点的棱，构造棱长为3的正方体，连接，
则点A到平面的距离为正方体体对角线长的，得，故B正确；
对于C，取的中点，连结，则，
又面，所以面.
面平面平面.
过作于，则平面.
在中，计算得，
所以，
于是，故C错误.
对于D，过点A向平面作垂线，垂足为，连结，则，
又，得，即点的轨迹为以为直径的圆，
在中，，
所以点的轨迹在内的长度为，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】由．
所以．
由于为锐角，所以，则，结合，
所以，因此．
13．【答案】
【详解】若函数的定义域为，值域为，
则不同的函数的个数为，
其中增函数共有3个：
（1）；
（2）；
（3）；
故所求概率为.
14．【答案】
【详解】设，则，圆的圆心，半径为，
由切圆于点，得，

则
，
当且仅当时，等号成立，
可知的最小值为，
整理可得，解得，
且，所以.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，，
即，
化简得，
即，故或，
又，解得或（舍去），故．
（2）要证，即证，即证，
由（1），，所以，即证．
不妨设（其中），
则
显然恒成立．
故，命题得证．
16．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，
所有数据都扩大10倍后：
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，
主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：
，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以
，
所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：
.
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）在中，作，垂足为，点即为点在平面的射影．
下面证明平面：
因为四边形为等腰梯形，所以，
在，中，，
，
解得，．
又，
．
又平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，．
又，，，平面，平面．
（2）连接点与的中点，则．
又平面平面，平面平面，
平面，平面．
如图，以为原点，过点且平行于的方向为轴，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则．
设平面的法向量为，易知，
所以，则
取，则，则．
设平面的法向量为，，，
所以，则
取，则，则．
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，.
因为是偶函数，先证当时，.
由，设，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以.
因为是偶函数，所以当时，，.
综上，.
（2）由，得.
因为在上为增函数，所以对恒成立.
①当时，恒成立，此时；
②当时，即对恒成立.
令，.
由（1）知在单调递增，所以，即，所以，
所以，解得，即a的取值范围为.
（3）由（1）可知，当，时，，即，
当且仅当时，等号成立.
令，，则，
即.
由（2）可得，当时，.
因为，所以，即.
所以
.
所以.
19．【答案】(1)和
(2)存在，定点，定值或定点，定值
(3)证明见详解，
【分析】(1)分析直线斜率存在与不存在，设出直线方程，由直线与圆相切，得到方程求解即可；
(2)设，求出关于点的轨迹方程，再设，根据为定值，列方程求解即可；
(3)设出相关点的坐标，利用垂直关系及向量计算即可证明.
【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
所以，解得，则，整理得，
综上，切线的方程为和
（2）由题设，若，则，
整理得，
若存在，使为定值，
又，，
则，
整理得，
即，
整理得，
要使为定值，则，
得，，或，，，
综上，存在定点，定值，或定点，定值
.
（3）证明：设，，，，，
由，则，即，
又，故，同理，
所以直线CD为，又M在CD上，所以，
故点E在直线上.学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
30
10
40
乙校
20
20
40
合计
50
30
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828