2025年中考数学总复习 专题03 反比例函数及其应用（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=eq \f(k,x)（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式
（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①y=x−2，②y=3x，③y=x−1，④y=2x+1，⑤xy=11，⑥y=kx，⑦y=5x2，⑧yx=1．其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例的三种形式分别为：y=kx(k≠0)，xy=k(k≠0)，y=kx−1(k≠0)．
①中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；
②，③是反比例函数；
④中分母是x+1，故不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中没有k≠0，故不是反比例函数；
⑦分母是x2，故不是反比例函数；
⑧中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．
故有三个是反比例函数．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）若P(2,a)，Q(4,1)两点都在反比例函数y=kx的图像上，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．12D．−12
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法求得该函数解析式，然后再将点P(2,a)代入求解即可．
【详解】解：∵点Q(4,1)在反比例函数y=kx的图像上，
∴可有1=k4，解得k=4，
∴该函数解析式为y=4x，
将点P(2,a)代入反比例函数y=4x，
可得a=42=2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图像上点的特征，正确求得反比例函数解析式是解题关键．
【变式2】（2023上·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数y=m−1xm2−2，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．±1D．2
【答案】B
【分析】反比例函数的自变量次数为−1，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且m−10时，y随x的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
D、当x