2025年中考数学总复习 专题02 整式及其因式分解（知识串讲+10大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）整式的相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）代数式及求值
①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；
③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
（二）整式运算
（1）整式加减
①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．
②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变加号．
（2）幂的运算法则
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．
②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．
（3）整式乘除
①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
（4）乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)22ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2
（三）因式分解
（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c).
（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式.
易错知识辨析：
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点一遍过
考点1求代数式的值
典例1：（23·24上·德州·阶段练习）设a，b是方程x2+x−2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019B．2018C．2015D．2016
【变式1】（23·24上·珠海·期中）若x=1时，代数式ax3+bx+2的值为4，则x=−1时，代数式ax3+bx+3的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数a是一元二次方程x2−2023x+1=0的根，求代数式a2−2022a−a2+12023的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式3】（23·24上·武汉·阶段练习）已知一元二次方程x2−3x+1=0的两根分别为x1,x2，则2x13−6x12+x22−5x2+7的值为（ ）
A．0B．7C．13D．6
考点2：整式的有关概念
典例2：（23·24上·广州·期中）下列判断正确的是（ ）
A．两个四次多项式的和一定是四次多项式B．m2n5和a2+b23都是单项式
C．单项式−x3y的次数是3，系数是−1D．2x2−xy2+3y2是三次三项式
【变式1】（23·24上·西安·期中）下列说法中正确的有（ ）个．
①25与x5是同类项；
②单项式−2xy23的系数是−2；
③多项式3x2−5x+1的一次项系数是−5
④x2y−xy+1是二次三项式
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（23·24上·德阳·阶段练习）对于多项式2x4+3x3y2−2xy−1，若a为该多项式的次数，b为该多项式的项数，则代数式ab的值为（ ）
A．16B．20C．8D．9
【变式3】（22·23上·榆林·期末）下列说法错误的是（ ）
A．代数式m+5，ab，−3都是整式B．单项式−ab的系数是−1，次数是2
C．多项式3x−π的项是3x，−πD．多项式5x2y−2xy+4x是二次三项式
考点3：幂的运算
典例3：（23·24上·广州·期中）下列运算正确的是（ ）
A．a3⋅a5=a15B．−a2b32=a4b6C．(a−b)2=a2−b2D．3a2−2a2=1
【变式1】（22·23下·洛阳·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．(−2a2)3=−2a6B．a6÷a2=a3
C．2a+2b=2abD．a+ba−b=a2−b2
【变式2】（22·23下·青岛·期中）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a=3a3B．(−5a5)2=25a5
C．a+2a−1=a2+a−2D．(a+b)2=a2+b2
【变式3】（22·23下·达州·期末）下列计算正确的是（ ）
A．x5⋅x5=2x5B．a3+a2=a5
C．(a2b)3=a8b3D．(−bc)4÷(−bc)2=b2c2
考点4：整式的乘除运算
典例4：（22·23下·深圳·期末）计算：
(1)a2⋅a4+(2a3)2−3a7÷a；
(2)m(2m−3)−(m−4)(m+1)．
【变式1】（22·23上·璧山·期中）计算：
(1)2a+ba−b；
(2)−2a2b23ab2−5a2b÷−ab3．
【变式2】（21·22上·北京·期中）计算：
(1)(−2xy2)2+4xy3·(−xy)
(2)2(a2−2a2b)−3a(a−2ab)；
【变式3】（22·23下·邯郸·期中）计算：
(1)−12020×π−20−−5−−12−3
(2)(−2a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
(3)xx+2y−y−3xx+y
考点5：乘法公式
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．−2xy23=−6x3y6B．x+y2=x2+y2
C．(−x+y)(−x−y)=x2−y2D．(a2)3=a5
（23·24上·海淀·阶段练习）在下列运算中，正确的是（ ）
A．x−y2=x2−y2B．2x−y2x+y=2x2−y2
C．a+2b2=a2+2ab+4b2D．a+2a−3=a2−a−6
【变式1】（23·24上·内江·期中）已知a2+b2+2a−4b+5=0，则a+b=（ ）
A．1B．−1C．5D．2
【变式2】（23·24上·长春·阶段练习）若(a+b)2=11，(a−b)2=7，则ab的值为（ ）
A．2B．1C．−2D．−1
【变式3】（23·24上·渝中·阶段练习）a+p=145，ap=4825，则a2+p2=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5】（23·24上·邢台·阶段练习）若a−1a=3，则a+1a2的值是（ ）
A．5B．6C．12D．13
【变式6】（23·24上·威海·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b22−2a2+b2c2+c4=0，△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【变式7】（23·24上·汕头·阶段练习）若M=2x2−12x+15，N=x2−8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥NB．M≤NC．M=ND．不能确定
考点6：乘法公式的几何背景
典例6：（23·24上·武汉·期中）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2−b2=a−b2B．a+b2=a2+2ab+b2
C．a−b2=a2−2ab+b2D．a2−b2=a+ba−b
【变式1】（22·23·攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①a+b2=a2+2ab+b2 ②a−b2=a2−2ab+b2

③(a+b)(a−b)=a2−b2 ④(a−b)2=(a+b)2−4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（22·23下·西安·阶段练习）用4张形状、大小完全相同的长方形拼成下图所示的正方形，利用面积的不同表示方法可以得到一个代数恒等式，若长方形的长、宽分别为a、b，则该图可以表示的代数恒等式是（ ）

A．a+b2=a2+2ab+b2B．a2+b2=a+b2−2ab
C．4ab+a−b2=a+b2D．a+b2−4ab=a−b2+4ab
【变式3】（22·23下·菏泽·期中）边长分别为a和b（其中a>b）的两个正方形按下图摆放，如果a+b=7，ab=12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25B． 12.5 C．13D． 6.5
考点7：整式的混合运算
典例7：（23·24上·宜春·阶段练习）计算：
(1)2b−3c+43c−2b+4−2b−c2
(2)x2y3⋅−2xy32；
(3)xny3n2+x2y6n；
【变式1】（23·24上·静安·阶段练习）计算
(1)2m+1m−2
(2)12x+34x−2
(3)2a−b2a+b−a−2b2
(4)−2aa−1−a−1a+2
【变式2】（23·24上·南阳·阶段练习）（1）计算：a·a3−5a4+2a22；
（2）计算：2a+3ba−2b−18a4a−3b；
（3）用简便方法计算：−0.1252023×22024×42024；
（4）先化简，再求值：2a−b2+a−ba+b−5aa−2b，其中a=12，b=−1．
【变式3】（22·23下·佛山·阶段练习）计算（能用公式的请用公式计算）：
(1)2x+32x−3；
(2)b+2a2a−b；
(3)a+2ba2−2ab+4b2；
(4)2a+3b−c2a−3b+c；
(5)x2+2x+5x2+2x−2；
(6)2x−124x2+121+2x2．
考点8：因式分解——提公因式、公式法
典例8：（23·24上·西城·期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．x2+2xy−y2=x−y2B．3m+1n−2+2n−2=3m+3n−2
C．x2−3x+2=x+1x−3D．x2−9=x+3x−3
【变式1】（23·24上·渝中·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．a2b−2ab=aab−2bB．−a2b+2ab=−aba+2
C．ab−14ab2=ab1−14b2D．−a2b+ab2=−aba−b
【变式2】（23·24上·梅州·阶段练习）把a2+12−4a2因式分解得（ ）
A．a2+1−4a2B．a2+1−4a2
C．a+12a−12D．a2−12
【变式3】（22·23上·武汉·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2−6=(x−2)(x+3)B．x2−2x−1=(x−1)2
C．x2−y2=(x−y)2D．x2+4x+4=(x+2)2
【变式4】（23·24上·西城·期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．m2−6m+9=(m−3)2B．x2−y2=(x+4y)(x−4y)
C．x2−x−2=x(x−1)−2D．2a2+4a=a(2a+4)
【变式5】（22·23下·鹰潭·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．4−x2=4+x4−xB．x2+2x−1=x−12
C．2x2−2=2x2−1=2x+1x−1D．x2−2x+2=xx−1+2
【变式6】（23·24上·达州·开学考试）因式分解正确的是（ ）
A．−4a2+9b2=−2a+3b2a+3bB．x3−x=xx2−1
C．a+ba−b=a2−b2D．m3+m2+m=mm2+m
【变式7】（22·23下·杭州·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+2xy−y2=(x−y)2B．−x24−y29=−x2+y3−x2−y3
C．4x2−9y2=4x+9y4x−9yD．x2−x−12=x−4x+3
考点9：因式分解——十字相乘
典例9：（23·24上·普陀·期中）已知多项式x2+6x+k，分解后有一个因式为x−1，那么k的值可以是（ ）
A．5；B．−5；C．7；D．−7．
【变式1】（23·24上·保定·开学考试）若分解因式x2+mx−15=x−3x−n则m的值为（ ）
A．−5B．5C．−2D．2
【变式2】（22·23下·达州·期末）将多项式x2−3x−4分解因式后正确的是（ ）
A．x+2x−2−3xB．xx−3−4
C．x−1x+4D．x+1x−4
【变式3】（22·23下·邵阳·期末）多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（ ）
A．−1B．1C．−2023D．2023
考点10：因式分解的应用
典例10：（22·23下·西安·阶段练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）已知a=12021+2020,b=12021+2021,c=12021+2022，则代数式2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)的值是（ ）
A．0B．1C．4D．6
【变式2】（22·23下·周口·阶段练习）计算：1−122×1−132×1−142×⋯×1−1982×1−1992的结果是（ ）
A．101200B．10099C．5099D．99200
【变式3】（22·23下·宜昌·模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x−y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于就可以把“018162”为一个六位数的密码．对于多项式x3−xy2=x(x−y)(x+y)，取x=18，y=5，用上述方法和顺序产生的密码是（ ）
A．180513B．131805C．180523D．181323