福建省福州市2024-2025学年高三第三次质量检测数学试题【含答案】

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这是一份福建省福州市2024-2025学年高三第三次质量检测数学试题【含答案】，共7页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，设，则等内容，欢迎下载使用。
2025.4
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A. 1B. C. 2D. 4
3. 已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
4. 设，则（）
A. -2B. -1C. 0D. 1
5. 已知菱形的边长为2，为的中点，则（）
A. B. C. D. 3
6. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（）
A. B. C. D.
7. 已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在A，B两点，使得，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线为函数图象的一条对称轴，则（）
A. 的最小正周期为B.
C. D. 图象关于点对称
10. 过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（）
A. B. C. D.
11. 已知四棱锥的高为2，底面是边长为2的正方形，，则（）
A. 的面积为定值
B.
C. 四棱锥表面积最小值为
D. 若四棱锥存在内切球，则该球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____.
13. 已知椭圆焦点为，，P为上的一点，若的周长为18，则的离心率为_____.
14. 6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）为边上一点，若，且，求的面积.
16. 如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）设，其中，若二面角大小为，求.
17. 已知函数.
（1）当时，求的极小值；
（2）若存在唯一极值点，证明：.
18. 设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，.
（1）求的方程；
（2）过且与垂直直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点.
（i）当的斜率为时，求；
（ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由.
19. 将区间中的全体有理数按一定顺序排列得到数列，规则如下：①，其中正整数与互质，如，；②，当且仅当时，.
（1）写出的前5项；
（2）若，，求；
（3）记的前项和为，证明：.
2024~2025学年福州市高三年级第三次质量检测
数学试题
2025.4
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##0.8
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【17题答案】
【答案】（1）极小值.
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）不存在，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1），，，，.
（2）1080 （3）证明见解析