浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考试题 数学 含解析

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考试题 数学 含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数在区间上的平均变化率是（ ）
A．2B．2xC．D．
2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．关于x的方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．有五名大学生参加为期两天的志愿者服务，每天安排两人参加服务，则恰有1人连续两天参加服务的种数为（ ）
A．90B．80C．70D．60
6．已知随机变量，满足，且，则（ ）
A．0.3B．0.5C．0.1D．0.2
7．已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心.若轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题
9．下列求导错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．，，，…，中最大的是D．
11．数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当时，则
D．当时，该学生只随机选1个选项时得分表现更优
三、填空题
12．设随机变量，若，则 .
13．如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则 .
14．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于 .
四、解答题
15．箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球.
(1)求摸到两球编号均为奇数的概率；
(2)在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率.
16．已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求；
(2)若数列满足，求数列前n项和，并证明.
17．如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，.
(1)若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD；
(2)若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值.
18．已知函数，
(1)当时，
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数有唯一极值点；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
19．对于给定的正整数，数列共有2n项，，用表示数列的前k项和，且.
(1)若数列满足对于任意的，均有，则称该数列是“数列”，其个数记为.
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）对于，求满足的“数列”的个数.
(2)当时，求的分布列及均值.
1．C
直接根据平均变化率的概念求解即可.
【详解】.
故选：C
2．B
根据条件，利用椭圆的标准形式及间的关系，即可求解.
【详解】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得，
故选：B.
3．B
根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得，
但是时，不一定是函数的一个极值点，
比如，，满足，但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件，
故选：B
4．A
根据组合公式性质求解即可.
【详解】，则x满足限制条件，
根据组合数性质得到 或，解得或3.
通过检验，发现或3都满足限制条件.
故选：A.
5．D
利用排列组合的知识求解即可.
【详解】先选出连续两天参加服务的学生，有种情形，则只需从剩下4人中选出2人安排在2天，故共有.
故选：D.
6．C
根据，之间的关系计算即可求得结果.
【详解】由可得，
所以.
故选：C.
7．A
由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得.
【详解】由得，
当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，解得.
故选：A.
8．C
设点，根据重心坐标公式得，由轴，得内切圆半径，设利用等面积法求得，然后利用勾股定理求得，即可得解.
【详解】设点在第一象限，两焦点，，其中，.
则重心，即，因为轴，
则I点纵坐标也为，
即内切圆半径.
设，则，则，
解得，则中，边长最大，所以，
由勾股定理有，解得，
故离心率.
故选：C.
9．ABC
由导数的四则运算及简单复合函数的求导，逐个判断即可.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：ABC.
10．ABC
设，利用通项公式求得含的系数判断A，利用赋值法求解判断BD，结合二项式系数的单调性及系数的正负判断系数最大项即可判断C.
【详解】设，则，
二项式的展开式通式，由，选项A正确；
令，则，选项B正确；
因为，当时，系数为正，
所以系数最大的是，选项C正确；
令，则，令，
则，，选项D错误.
故选：ABC.
11．ABD
分别计算出X和Y不同情况下的概率，再求出数学期望，逐项进行计算即可求得.
【详解】由条件可知，X的所有可能取值为0，2，3，
，
，
，所以，
Y的所有可能取值为0，4，6，
，
，
，所以，
若，则，选项A正确；
若，，选项B正确；
无论p为何值，，选项C错误；
当时，，所以该学生只随机选1个选项时得分表现更优，选项D正确.
故选：ABD.
12．4
根据正态分布的对称性运算求解即可.
【详解】由正态分布可知，故.
故答案为：4.
13．
质点位于数轴上的位置X满足，则6次移动中需满足：1次向左5次向右、2次向左4次向右.再根据独立重复试验的概率公式计算．
【详解】由题意知，质点位于数轴上的位置X满足，则6次移动中需满足：1次向左5次向右、2次向左4次向右，
所以.
故答案为：.
14．
根据题意，设，再由等比数列的通项公式可得数列的通项公式，再由即可求得.
【详解】设.
由题意可知，数列是公比为2的等比数列，，所以.
所以
，所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据古典概型公式计算即可；
（2）利用条件概率公式直接计算可得结果.
【详解】（1）设事件A：“摸到两球编号均为奇数”，
则.
（2）设事件B：“摸到1号球”，事件C：“摸到两球编号的和为奇数”，
则，
事件BC同时发生，即为摸到1、2号球或者1、4号球，
所以，
所以.
16．(1)
(2)证明见解析
（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，即可求出.
（2）利用裂项相消法求得，然后数列的有界性证明即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由题意得：
，即，解得，
故，故.
（2），
所以
，
因为，所以.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）通过构造辅助线，利用三角形中位线得到线段的平行关系和数量关系，进而证明四边形是平行四边形，得到直线与直线平行，最后依据直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行.
（2）首先根据线面垂直的判定定理得出面，进而建立空间直角坐标系得到各点坐标；然后通过平面法向量与平面内向量垂直的性质求出平面的法向量；最后利用线面角的向量求法即可得解.
【详解】（1）过点Q作交PD于点G，连接CG，
因为Q为PE中点，所以G为PD中点，，
又因为，所以，，
所以四边形BCGQ是平行四边形，所以，
又因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.
（2）因为平面PAD，平面PAD，所以，
又因为，，所以面ABCD，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面PAB的一个法向量为，
所以令，，则，故，
设直线PD与平面PAB所成的角为，
，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18．(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
(2).
【详解】（1）当时，，则在上单调递增，
（ⅰ）因为，，
所以函数在处的切线方程为，即.
（ⅱ）证明：因为在上单调递增，
且，，所以存在使得.
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，所以函数有唯一极值点.
（2）解法1：，且单调递增，
因为当无限趋向于0时，，当无限趋向于正无穷大时，，
所以存在，使得，
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增.
所以函数，
将代入上式，
则，即，
因为单调递增，所以，
所以，又在上单调递增，
所以.
解法2：因为恒成立，即恒成立，
分离参数得，
设，，
设，单调递增且，
所以当时，；当时，.
所以当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，所以.
19．(1)（Ⅰ），；（Ⅱ）36.
(2)分布列见解析，
【详解】（1）（ⅰ）数列均为“数列”，
当时，数列有4项，且，即由2个1和2个组成，
所有不同的的排法，由4个位置如何安排2个1决定，共种，
显然这6种情况，都满足对于，2，3时的要求，因此；
当时，数列有6项，且，即由3个1和3个组成，
所有不同的的排法，由6个位置如何安排3个1决定，共种，
考虑到，2，3，4，5时的要求，前三项同时取1或者的情形不能满足，
所以.
（ⅱ）该数列是“”数列，要使得，则前4项必须取2项1和2项，
又，因此后4项也只能是2项1和2项，则共有种情形，
又前4项2项1和2项，已满足，而，后4项的和为0，因此对自动满足，
因此时，对所有满足，
所以满足的“数列”的个数为36.
（2）当时，依题意，，则X的可能取值为1，2，3，4，
数列的个数为，
当时，数列的每一对与只能一个为1，一个为，
即有2种可能，又共有4对，于是；
当时，由1与的对称性，以前2项中1的个数进行分类：
①2个1，则，若，则，剩下3项中有1项为1，则有种；
若，则后续无约束，则剩下4项中有2项为1有种，共种，
②，，若，则，剩下3项中有1项为1，则有种；
若，，则有，和，，有2种；
若，，则有，和，，有2种；
若，，剩下3项中有1项为，则有种，共种，
其余情形只需1与对调，则；
时，由1与的对称性，以前3项中的个数进行分类：
①0个，则前三项为1，，剩下4项中有1项为1，共种，
②1个，前三项取1项和2项1有种取法，不妨设，，
而要使得，则只能是，，有种，
其余情形只需1与对调，则；
时，数列前4项必须同时取1或，只有这2种情况，则，
所以X的分布列为：
数学期望.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
D
C
A
C
ABC
ABC
题号
11









答案
ABD









X
1
2
3
4
P