山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中学业诊断数学试题（解析版）

这是一份山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中学业诊断数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为集合，，则.
故选：B.
2. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.当时，由，得，故A错误；
B.，时，不成立，故B错误；
C.，则，故C正确.
D.举例，时，则，故D错误；
故选：C
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故选：D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以或或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数（，且的图象必经过的定点是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，得x=1，代入解析式，得到图象必经过的定点是.
故选：A.
6. 已知不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式对于一切实数都成立，
则当时，不等式恒成立，
当时，则需满足，解得：，
综上可得：实数的取值范围是，
故选：B.
7 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，，
则.
故选：D.
8. 已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，因为，等式两边同时除以可得.
，
根据基本不等式则，所以，
即最小值是.
因为恒成立，所以，即，
解得.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是增函数
C. 是偶函数
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即.
分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误.
分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确.
分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误.
分析选项D,由，即，解不等式， ，
又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确.
故选：BD.
10. 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，fx=x2-2x，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是函数的最大值
C. 当时，
D. 不等式解集是
【答案】AD
【解析】因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确；
因为函数为奇函数，所以，所以，
而，所以不是函数的最大值，B错误；
设，则，所以，
又为奇函数，，所以，
所以时，，C错误；
根据以上结果，有，所以，
有，解得，或，解得，
所以不等式的解集是，D正确.
故选：AD
11. 已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 是增函数D.
【答案】AD
【解析】对于A，令，，则；
由时，得：，，A正确；
对于B，令，得，B错误，
对于D，令，则；
当时，，，，
对于任意x∈R，，D正确；
对于C，设，
；
，，即，又，
，∴fx在R上单调递减，C错误.
故选：AD
三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）
12. 命题“，”的否定是___________.
【答案】，
【解析】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故答案为：，.
13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】由题意得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据运算“◎”的定义可得，
即可得，
画出函数图象如下图所示：
若函数的图象与轴恰有个公共点，
即函数与函数的图象有两个交点，
由图可知，当处在图中长虚线位置以及轴处时满足题意，
此时或或.
因此实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算下列各式的值
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）.
16. 已知全集，，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）,,
，
；
（2）由（1）得，
， ，
实数取值范围为.
17. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）根据定义证明：在上单调递增.
（1）解：是上的奇函数.
证明：由题意得的定义域为，，都有，
，∴fx是上的奇函数.
（2）证明：，，且，
则，
，，，，，
，，∴fx在-1,1上单调递增.
18. 实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元.
（1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种：
方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备；
方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备
自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由.
解：（1）由题意得，，
令，则，
，，
故从2023年开始，该设备开始盈利；
（2）方案一：年平均盈利额，
当且仅当时，即当时，上式等号成立，
故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值，
此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为；
方案二：盈利总额，
当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102，
此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为；
因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一.
19. 若函数对于定义域某个或某些区间内的任意一个，满足f-x=-fx，则称函数为上的“局部奇函数”；满足f-x=fx，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数，其中为常数.
（1）若为上的“局部奇函数”，求不等式的解集；
（2）已知函数是上的“局部奇函数”，也是上的“局部偶函数”.
①当时，求函数的值域；
②对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，f-x=-fx恒成立，
即恒成立，整理可得恒成立，
则，即，又由在上单调递增，且，
所以不等式的解集为.
（2）①由（1）可得当时，的取值范围为；
由题意得，f-x=fx恒成立，
即恒成立，整理可得恒成立，
则，即，
又由在上单调递增，所以在上值域为，
根据偶函数关于轴对称，所以对称区域的值域相同，
则当时，的值域为；
综上所述，当时，的值域为.
②由题意得， 当时，则有，即，
解得：，所以此时的取值范围是，
当时，则有，即，显然成立，
所以此时此时的取值可以为0，
当时，则有，即，
解得：，所以此时的取值范围是，
综上所述，实数的取值范围是.