安徽省师范大学附属中学2025届高三下学期4月质量检测 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．2
3．设，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）
A．B．C．D．
8．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A．96B．98C．100D．102
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数和，则（ ）
A．和的最小正周期相同
B．和在区间上的单调性相同
C．的图象向右平移个单位长度得到的图象
D．和的图象关于直线对称
10．已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（ ）
A．
B．若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10
C．若，则
D．的最大值为
11．设，函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．若，则当时，
C．若有个零点，则的取值范围是
D．若存在，满足，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为 .
13．设函数，，若曲线与恰有个公共点，则 .
14．已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：
(1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）；
(2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）.
参考数据：，，，，.
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.
16．设函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)若，为的两个极值点，求的取值范围.
17．如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求.
18．已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.
19．已知数列满足，且.
(1)若，求满足条件的的值；
(2)设集合，
（ⅰ）若，证明：，，成等比数列；
（ⅱ）若（其中），且，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，即，解得，
所以，则，
故选C.
2．【答案】D
【详解】因，，则，
则，.
故选D.
3．【答案】B
【详解】，所以，
解得或（舍），
故选B.
4．【答案】C
【详解】由可得，即，
且在上的投影向量为
故选C.
5．【答案】A
【详解】因为，所以，
.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因，则，
因，得，
令，则，
则得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，此时，
故圆台母线与底面所成角的正切值为.
故选D.
7．【答案】A
【详解】，即，
因为，所以可得，解得，
当时，满足题意；
当时，即，解得，满足题意；
当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为，
故选A.
8．【答案】D
【详解】当时，，设，
当时，，则，
即，所以，
时取等，故D错误；
若，，且，，，
此时；
若，，且，，，
此时.
故A，B，C正确.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确；
对于B：当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递增，选项B正确；
对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误；
对于D：，选项D正确.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】设直线：，，，其中，
∴，整理得，则，
，A正确；
直线的斜率为1，则此时，，
∴，
设为中点，
又，
易知，所以以为直径的圆截轴所得弦长为，B错误；
过A，分别作的垂线，垂足分别为，，因为，则A为P与B的中点，所以，由抛物线的定义可知，，C选项正确；
设与轴交于点，因为，所以不妨设，
所以，
当且仅当时取等号，D选项正确.
故选.
11．【答案】BCD
【详解】对于A选项，，
当时，，单调递增，无极值点；
当时，得或，，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，故A选项错误；
对于B选项，当，时，
由上述知，在上单调递增，在上单调递减，
则，故B选项正确；
对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有个零点，
则由单调性可知必然有，解得.
而当时，，，
在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确；
对于D选项，，
等价于或，，故D选项正确.
故选BCD.
12．【答案】5
【详解】易知，，，得出和，
因为渐近线方程为，故，解得，
所以，所以的焦距为.
13．【答案】1
【详解】易知与均为偶函数，
若曲线与恰有个公共点，则，
所以，解得，
当时，，值域为，
由，所以此时两函数只有一个交点，不符题意；
当时，，
当时，，，
设，
则，记
则恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
即存在，使，又，
所以函数在有一个零点，
即曲线与在有一个公共点，
综上所述曲线与共有个公共点，符合题意.
14．【答案】
【详解】设正三棱锥的底面边长，到平面的距离为，
所以，，
所以，，，
所以
，
不妨设，，所以，所以，
设，，
所以，
所以内切球半径的最大值为.
15．【答案】(1)相关，理由见解析
(2)，身高为的某同学，体重大概为
【详解】（1）.
因为（或），
所以，即身高与体重间是高度相关的；
（2）因为，
所以，
所以体重关于身高的回归方程为，
所以当时，.
即某同学身高为时，体重大概为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，求导得，
若是增函数，即，
所以恒成立，
因为，则有，
解得，即的取值范围是；
（2）由（1）可知，若有两个极值点，则，
根据韦达定理得出，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）连接，设与相交于点，连接.
∵，分别为，的中点，∴，
在正四棱锥中，平面，
又∵平面，∴，
又底面为正方形，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）以及题意可知，在中，，.
在中，，，∴.
又∵，，，
∴以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
则，，，.
∵在棱上，∴不妨设，
则，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，则.
设与平面所成的角为，
则，当且仅当时等号成立.
∴当与平面所成角取得最大值时，.
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，所以，
因为，所以，
所以，
所以的方程为；
（2）
设直线：，，，易知
由可得，，，，
，解得，
的面积是与的面积之差，
所以的面积
设，所以，当且仅当时取“=”，
所以面积的最大值为；
（3）直线：，
由，解得，
所以线段的中点横坐标为，
所以，
所以线段的中点在直线上.
19．【答案】(1)3
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）由题意可知：或，
且，
若，则或，显然不合题意；
若，则，符合题意；
所以.
（2）（ⅰ）由题知，当时，，
若，则与且矛盾，
所以，所以，
若，则与且矛盾，
所以，同理可得，
所以成公比为的等比数列；
（ⅱ）由
可推得，或，
对于任意正整数，
可得，
即，
所以，所以，
由题知，所以，，，
所以，，，
若，则与且矛盾，所以，
因为且，所以且，所以，
因为，，所以，
又，，，
所以为正奇数，
所以，
同理，，，
所以，
当为，，1，，0，，，0，，，0，，时，符合题意，
所以的最大值为.
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
均值
身高
165
157
156
173
163
159
177
161
165
164
体重
53
46
48
56
57
49
60
45
54
52