广东省汕头市2025届高三下学期第二次模拟考试普通高考数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市2025届高三下学期第二次模拟考试普通高考数学试卷（解析版），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程是，即.
故选：B.
2. 设复数，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 在中，为边上的中线，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，因为边上的中线，则 ，又 ，
则．
故选：D.
4. 某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.4
【答案】A
【解析】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”，
则由全概率公式得：．
故选：A.
5. 设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】设平面的法向量为，
正方体一个顶点处的三个平面的法向量分别为、、，
则，，
，
因正方体有三对互相平行的平面，
则.
故选：A.
6. 若，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
7. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是钝角C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理得，所以，故A错误；
因为，又，所以，
所以，所以，故B错误；
从而，由正弦定理可得，故C正确；
所以，故D错误．
故选：C.
8. 若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因时，，函数图象的对称轴为，当时函数在时取得极大值，
又因时，，由函数的性质，可知要使还有一个极值，必须使，
则由，可得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（ ）
（参考公式及数据：，临界值）
A. 10B. 11C. 12D. 18
【答案】CD
【解析】设样本中男生人数为，得列联表
所以，即，又，故C、D正确．
故选：CD.
10. 已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. D. 数列前10项和为56
【答案】AD
【解析】由题设得：当时，，可得，又，
所以，所以，，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
所以，当时，，
所以，所以数列不是等比数列，故B错误；
所以，故C错误；
又，所以的前10项和为，故D正确．
故选：AD.
11. 已知函数的定义域为且，，则（ ）
A. B.
C. 为的极小值点D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】在中，
对于A，令，则，，A正确；
对于B，令，则，В错误；
对于C，若函数为，显然符合题意，此时无极小值点，C错误；
对于D，令，则，则，
令，则，故是偶函数，D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为__________.
【答案】30
【解析】由，
其展开式的通项为，，，
令，得的展开式的通项为，，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：30.
13. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
14. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为______．

【答案】
【解析】如图，取中点，连接，则，，

又，，平面，则平面，
因为平面，则，
又，，，平面，
所以平面，
所以三棱锥的外接球球心必在过的中心且平行于的直线上，
且，设，则，，
设三棱锥的外接球半径为，则有，
当时，，
故三棱锥外接球体积的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴．
（1）解：，
由得：或，
当时，的增区间为，不存在减区间；
当时，列表得
所以的增区间为与，减区间为；
当时，列表得
所以的增区间为与，减区间为；
（2）证明：由题设得，
解得：，
即的图象在处的切线平行于轴．
16. 已知数列，，其前项和为．
（1）求；
（2）求；
（3）若数列的前项和为，且，证明：．
（1）解：因为，
所以；
（2）解：因为
，
所以；
（3）证明：因为，
所以，
从而，
两式相减得：
，
故．得证.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中点，设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：四边形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：取与中点，．连接，，，，
则运用中位线性质知，且,则，，
则四边形是平行四边形，
是正三角形，易知，，
底面是菱形，，则是正三角形，则，
平面， 平面，
平面，，
由于四边形是菱形，四边形是平行四边形，
所以，，
．
（3）解：由（2）知为二面角的平面角，即，前面知道，
则过做的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则进而求得一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求方程的解集；
（2）若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围；
（3）若是常数函数，求的值．
解：（1）当时，，
由得：，解得，或，
即，或，
故所求方程的解集为，或；
（2）的定义域为，由是偶函数得：，即：
，
所以，
从而，进而，所以为正奇数，
当取最小值即时，，
所以，，
令，，则，且，
所以函数的值域转化为，且的值域，
对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；
又当时，；
故函数的取值范围为；
（3）因为，，所以若是常数函数，则，
①当时，由（1）知，不是常数函数；
②当时，，此时，，
不是常数函数；
③当时，
，
所以，是常数函数；
④当时，，不是常数函数；
综上所述：．
19. 已知矩形中，，．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于、的直线为、轴建立平面直角坐标系．设轴分别交、于点、，点为平面上的动点，且直线、的斜率的积为．
（1）证明点不在矩形的外部；
（2）现将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，
①求直线的方程；
②重新展平矩形，当折痕的长最大时，求折痕被点的轨迹所截得的弦长．
（1）证明：设，由题设知、，
从而，整理得，
所以点的轨迹为椭圆（去掉上下顶点），其范围是，，
故点不可能在矩形外部；
（2）解：①设折叠后A点落在线段DC上的点为，
当时，易得直线方程为；
当时，由A与G关于折痕所在的直线对称，有，即，
所以，AG中点坐标为，
从而折痕所在的直线方程，即；
综上：直线方程为：；
②由题可得，当时，折痕的长为4；
当时，因直线所对应方程为：.
则直线与交点为，，
（ⅰ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，则此时
此时，，且；
（ⅱ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，则
此时，，
．
令得：，
列表得
所以，
（ⅲ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，k2>1k2+4k