2024-2025学年北京市七年级上学期期末数学专项真题练习：一元一次方程章节综合（解答题）含答案

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一、解答题
1．（2025北京门头沟初一上期末）列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）．原题是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”题中的“里”是我国古代长度单位，翻译成译文就是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
2．（2025北京大兴初一上期末）居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准（按照年用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三个阶梯，户内人口不超过5人）．
已知小兴家1月份至11月份（含11月份）累计用水量为．
(1)若12月份用水量为，则小兴家12月份应缴水费 元；
(2)若小兴家这一年的水费为970元，求小兴家12月份的用水量是多少？
3．（2025北京大兴初一上期末）阅读材料：对于有理数，我们规定：．例如：．
(1)计算的值；
(2)当时，求的值．
4．（2025北京西城初一上期末）如图，数轴上点A，O，B分别表示数，0，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点O后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点P到达点O时，P，Q两点都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
(1)当时，_______；当点P与点Q重合时，_______；
(2)当点Q在点P左侧，且时，______，点Q表示的数是_______；
(3)当时，求t的值．
5．（2025北京门头沟初一上期末）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
(1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
(2)从第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
(3)请写出该方程的正确解答过程．
6．（2025北京门头沟初一上期末）解方程：．（写出检验过程）
7．（2025北京昌平初一上期末）已知甲班有38人，乙班有40人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学参加学农活动，若从甲班抽调的人数是乙班抽调人数的2倍，则甲班剩余人数比乙班剩余人数少12人，请问从甲、乙两班各抽调了多少人？
8．（2025北京昌平初一上期末）解方程：．
9．（2025北京昌平初一上期末）解方程：．
10．（2025北京怀柔初一上期末）解方程：
(1)；
(2)．
11．（2025北京西城初一上期末）学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图1，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图1中赛道的内圈长为线段，，的和．
(1)用含x的式子表示：图1中，的长为_______，赛道的内圈长为______；
(2)小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2，他在场地长为的边上截取线段，且．他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道．
①请在图2中补全小明设计的赛道图形；
②对于图2的这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由．
12．（2025北京西城初一上期末）数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当，，时，点A，B互为关于点M的“平衡点”．
已知数轴上点P表示数．
(1)点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则________（用含a的式子表示）；
(2)点O，C，D分别表示数0，1，6．
对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，点关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，（n为正整数）．
对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，．
①求线段的长；
②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由．
13．（2025北京顺义初一上期末）解方程.
14．（2025北京怀柔初一上期末）在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点．
(1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点．
若，则 ；若，则 ；
计算： ；
(2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ；
(3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．
15．（2025北京怀柔初一上期末）已知关于x的方程的解为，求a的值．
下面是小明同学的解题过程，请认真阅读并完成相应问题．
解：第一步 把____________代入原方程：
第二步 整理得：
第三步 去分母得：
第四步 去括号得：
第五步 移项得：
第六步 合并同类项得：
第七步 系数化1得：
回答下列问题：
(1)补全解答过程；
(2)第三步的依据是 ；
(3)第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
(4)直接写出 ．
16．（2025北京怀柔初一上期末）列方程解应用题：
新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？
17．（2025北京大兴初一上期末）若有理数与分别对应数轴上的点与点，则为点与点的距离．我们定义：为点与点之间的三等分距离，记作．例如：数轴上表示与3的点之间的三等分距离是．
(1)数轴上表示2与4的点之间的三等分距离 ；
(2)数轴上表示数与1的点之间的三等分距离是2，则 ；
(3)若取最大值，则有理数的值可以是 （写出一个即可）；
(4)若是的2倍，则的值为 ．
18．（2025北京大兴初一上期末）列一元一次方程解应用题：在一次劳动课上，有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处调往甲处多少人？
19．（2025北京大兴初一上期末）解方程：
(1)；
(2)．
20．（2025北京西城初一上期末）甲、乙、丙、丁四位志愿者参加某公益组织举办的义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的售卖．下表记录了他们售出商品的数量和总销售额的部分信息．
(1)直接写出帆布袋、冰箱贴、徽章的单价；
(2)如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的3倍还多1个，那么丁售出冰箱贴和徽章各多少个？
21．（2025北京西城初一上期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
22．（2025北京顺义初一上期末）给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”．
例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”．
(1)点M表示2．
①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______；
②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数；
(2)阅读下列操作：
A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，…
点M表示，点N表示3，完成下面问题：
①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______；
②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值．
23．（2025北京顺义初一上期末）解方程：
24．（2025北京延庆初一上期末）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”．
如图，在数轴上点表示的数分别为，，．
(1)若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）；
(2)若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值；
(3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数．
25．（2025北京延庆初一上期末）在学习解方程时，张老师给出题目，解方程：．下面是小刚和小红的探究过程，请补充完整．
(1)小刚：这是一元一次方程，求解就要将方程化为“”形式．通过观察我发现此方程中有括号，我认为应先_______，依据是_______________________，然后再通过移项、合并同类项、系数化为1就可以得到方程的解了．
(2)小红：通过观察我发现此方程中有分母，所以我认为先_____，方程左右两边都乘以_____，依据是________________________________，然后再通过其它的变形就可以得到方程的解了．
(3)请你选择其中一个思路进行解答．
26．（2025北京延庆初一上期末）某校计划举办一场关于“长城文化”的知识竞赛，预算元用于购买长跳绳与短跳绳共套，以奖励参赛者．已知长跳绳单价为元，短跳绳单价为元．学生会成员预估购买奖品后还能剩余元，他的预估正确吗?若正确，求出购买长跳绳与短跳绳各多少根；若不正确，请说明理由．
27．（2025北京延庆初一上期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
28．（2025北京东城初一上期末）如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少．
港珠澳大桥主体工程示意图
根据以上信息回答下列问题：
(1)设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）：
(2)在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间；
(3)港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？
29．（2025北京东城初一上期末）已知关于的方程，其中．
(1)当时，求该方程的解；
(2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解．
30．（2025北京东城初一上期末）下面是小丽同学解方程的过程：
根据小丽的解题过程，回答下列问题：
(1)第①步的依据是______；
(2)从第______（填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程．
答案
1．20天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设快马x天可以追上慢马，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马走的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
根据题意得：，
解得：．
答：快马20天可以追上慢马．
2．(1)85
(2)小兴家12月份的用水量是
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据题中的收费标准计算即可；
（2）设小兴家12月份的用水量是，根据小兴家这一年的水费为970元，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：
（元）；
（2）解：设小兴家12月份的用水量是，
∵（元）
（元），
又∵，
∴，
则：，
解得：，
答：小兴家12月份的用水量是．
3．(1)7
(2)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
解得：．
4．(1)3；6；
(2)，；
(3)4或
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示P，Q表示的数．
（1）当时，P运动到表示的点，Q运动到的点，可得；当时，Q表示的数为，P表示的数为，故，解得；
（2）点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为，即得，解得，从而求出点Q表示的数是；
（3）当时，，，可得，解得；当时，，，故，解得或（舍去）．
【详解】（1）解：当时，P运动到表示的点，Q运动到的点，
∴；
当时，Q表示的数为，P表示的数为，
∴点P与点Q重合时，，
解得；
故3，6；
（2）解：点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为，
∵，
∴，
解得，
此时，
∴点Q表示的数是；
故，；
（3）解：当时，P表示的数为，Q表示的数为，
∴，
∵，
∴，
解得；
当时，P表示的数为，Q表示的数为，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，t的值为4或．
5．(1)等式的基本性质
(2)二；括号前面是“”，去括号后括号内的第二项没有变号
(3)见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据等式的基本性质，即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答；
（3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的，
故等式的基本性质；
（2）解：从第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是括号前面是“”，
故二；括号前面是“”；
（3）解：：，
等式两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，．
6．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项、合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
；
检验：把分别代入原方程的左、右两边得：
左边，
右边，
∵左边右边，
∴是原方程的解．
7．从甲班抽调20人，从乙班抽调10人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键．
设从乙班抽调人，从甲班抽调人，根据甲班剩余人数比乙班剩余人数少12人建立方程求解．
【详解】解：设从乙班抽调人，从甲班抽调人，依题意，得：
解得：，
∴，
答：从甲班抽调20人，从乙班抽调10人．
8．
【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据“移项、合并同类项，系数化为1”，求出方程的解即可．
【详解】解：，
移项得，，
合并得，，
系数化为1，得：．
9．
【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据“去分母、去括号、移项、合并同类项”求出未知数的值即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并得，．
10．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程；
（1）按照移项，合并，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
移项得，
合并同类项得，
化系数为1得：
（2）
去分母得：
去括号得，
移项合并同类项得，
化系数为1得：
11．(1)，
(2)①见解析；②需要调整比赛方案，理由见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计．
（1）根据线段的和差求解；
（2）①根据图1作图；
②先计算新图中的赛道长，再求出两个赛道的宽度差，再求解．
【详解】（1）解：图1中：的长为，
赛道的内圈长为：，
故，；
（2）解：①小明设计的赛道图形如下图所示：
②需要调整小明之前制定的比赛方案；
理由：赛到长为：，
由题意得：，
∴，
∵50不在范围内，
∴需要调整小明之前制定的比赛方案．
12．(1)
(2)①；②存在，
【分析】本题考查数字规律，数轴两点之间的距离，一元一次方程的应用；
（1）根据“平衡点”的定义得到，整理化简即可；
（2）①根据操作步骤得到表示的数为，表示的数为，再求线段的长即可；
②根据操作步骤得到当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：，是，，，四个数循环，根据规律分情况讨论，分别计算即可．
【详解】（1）解：由“平衡点”的定义可得：，
∴，
故；
（2）解：①∵点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则，设点C表示的数为，点表示的数为，则，，
∴点C关于点P的“平衡点”为点，则表示的数为：，
点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：，
点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：，
点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：，
按此方式继续操作，当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：，
设点D表示的数为，则，
将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，表示的数为：，
点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：，
将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，表示的数为：，
点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：，
∴是，，，四个数循环出现，即，，，四个数循环；
由规律可得表示的数为，表示的数为，
∴；
②∵存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667，
∴线段的长与无关，
∴当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得（的解不是整数，舍去）或（不是整数舍去）；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得或（不是整数舍去）；
综上所述，存在正整数，对于任意的正数k，都有线段的长为667．
13．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
先移项，再合并同类项，最后系数化为即可解答．
【详解】解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
14．(1)①0；；②
(2)或0
(3)，2
【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用．
（1）①根据共点联系点的定义求解即可；
②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可；
（2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可；
（3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可．
【详解】（1）解：①当时，由题意，得
∴；
当时，由题意，得
∴．
故①0；；
②设点A、点B到点P的距离为m，
由题意，得
，
∴，
故；
（2）解：由题意得，或，
∴或，
解得或．
故或0；
（3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大．
当到大P之前时，，
由题意，得
，
解得；
当M从6表示的点返回后，，
由题意，得
，
解得；
故，2．
15．(1)
(2)等式的基本性质2
(3)五；移项没变号
(4)
【分析】本题考查了已知方程的解求字母及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和注意事项是解题的关键．先将方程的解代入方程，转化为关于a的一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化1的步骤求解即可，同时注意防止几个易错点出错．
【详解】（1）依题意，将代入原方程即可，
故
（2）根据等式的基本性质2，方程两边同时乘以6，去分母，各项都乘，不要漏乘；
故等式的基本性质2
（3）第5步，移项时移项没变号，移项时，注意变号
故五；移项没变号
（4）正确的解答为：
第一步 把代入原方程：
第二步 整理得：
第三步 去分母得：
第四步 去括号得：
第五步 移项得：
第六步 合并同类项得：
第七步 系数化1得：
故
16．大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个
【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，找准数量关系，列方程是解题的关键；设编织大号中国结个，则小号中国结编织个，根据题意列方程即可；
【详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，
由题意列方程得：，
解得 ，
，
答：大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个．
17．(1)
(2)7或
(3)（答案不唯一）
(4)
【分析】（1）根据三等分距离的定义进行求解即可；
（2）根据三等分距离的定义列出方程，解方程即可；
（3）先根据新定义得出，然后分类讨论求出最大值即可；
（4）根据是的2倍，得出，分类讨论求出，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：数轴上表示2与4的点之间的三等分距离为：
；
（2）解：∵数轴上表示数与1的点之间的三等分距离是2，
∴，
解得：或；
（3）解：由题意得：
当时，
；
当时，
；
当时，
，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
∴取最大值，则有理数的值可以．
（4）解：∵是的2倍，
∴，
整理得：，
当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解；
当时，，解得：；
当时，．
本题主要考查了新定义运算，绝对值方程，绝对值意义，解题的关键是理解新定义，熟练掌握绝对值的意义．
18．应从乙处调往甲处5人
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．利用一元一次方程解应用题的关键是找相等关系，列出方程．设应从乙处调往甲处x人，根据甲处原有人数调来的人数(乙处原有人数调来的人数)，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设应从乙处调往甲处x人，根据题意得：
，
解得：，
答：应从乙处调往甲处5人．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．(1)帆布袋、冰箱贴、徽章的单价分别是20元，15元，8元
(2)丁售出5个冰箱贴，16个徽章
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用帆布袋的单价=志愿者甲的总销售额÷志愿者甲销售帆布袋的数量，可求出帆布袋的单价，设冰箱贴的单价为x元，利用总销售额=销售单价×销售数量，结合志愿者乙售出商品的数量和总销售额，可列出关于x的一元一次方程，设徽章的单价为y元，利用总销售额=销售单价×销售数量，结合志愿者乙和志愿者丙售出商品的数量和总销售额，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设丁售出m个冰箱贴，则有个徽章，根据“丁的总销售额”，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：帆布袋的单价为（元）．
设冰箱贴的单价为x元，根据题意得：
，
解得：；
设徽章的单价为y元，根据题意得：
，
解得：．
答：帆布袋的单价为20元，冰箱贴的单价为15元，徽章的单价为8元；
（2）解：设丁售出m个冰箱贴，则有个徽章，根据题意得：
，
解得：．
所以，
答：丁售出5个冰箱贴，16个徽章．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）先去括号，再将方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
22．(1)①；②11或
(2)①1或2；②
【分析】本题考查了新定义运算、数轴上的动点问题、数字变化的规律、一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
（1）①根据新定义直接计算即可得出结论；②设点N表示的数为，由点P表示，且是M，N的“15关联点”，得到等量关系列出方程，解出的值即可解答；
（2）①根据数轴上点的变化规律，可得点表示的数为，点表示的数为，由点M表示，点N表示3，可知点M，N的“5关联点”都在线段上，再分，和讨论，即可解答；②先求出M，N的“20关联点”和“80关联点”表示的数，再分，和讨论，即可解答．
【详解】（1）解：①当点P表示0时，，
当点P表示时，，
P是M，N的“10关联点”，
在0，两个数中，P可以表示的数是．
故．
②设点N表示的数为，
点P表示，点M表示2，
，，
点P是M，N的“15关联点”，
，
，
解得：或，
点N表示的数为11或．
（2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，…；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，…
点表示的数为，点表示的数为，
点M表示，点N表示3，
，
点M，N的“5关联点”都在线段上，
又线段上存在点M，N的“5关联点”，
线段与线段有公共部分，
当时，线段与线段有公共部分，符合题意；
当时，线段与线段有公共部分，符合题意；
当时，，，此时线段与线段没有公共部分，不符合题意；
线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为1或2．
故1或2．
②设点P表示的数为，且是M，N的“20关联点”，
由题意得，，
解得：或，
数或数表示的点是M，N的“20关联点”，
同理可得，数或数表示的点是M，N的“80关联点”，
由①得，线段上的点都在原点或原点右边，
又线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，
线段上同时存在数和数表示的点，
当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意；
当时，，线段上同时存在数和数表示的点，符合题意；
当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意；
综上所述，当时，即时，线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”．
满足条件的n的值为．
23．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．根据方程的特点，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
24．(1)是
(2)的最小值是，最大值是
(3)
【分析】（1）根据题意可得点E表示的数为，根据“近中线段”定义可得，即可判断．
（2）根据题意可得点E表示的数为，最小值为，最大值为，故，求解即可．
（3）根据题意可得点P表示的数为，在点P在原点左侧，结合点表示的数分别为，，可得线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，从而得出点在点右侧，设点表示的数为，则，根据，可得， 线段的中点表示的数为，根据的长度恰好与的值相等，可列，即，代入中，计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点表示的数分别为，9，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴，，即，
∴线段是线段的“近中线段”，
故是．
（2）解：∵线段是线段 的“近中线段”，
∴a的最小值不超过1，
又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a，
∴结合数轴可得点E表示的数最小值为，最大值为，
∵点表示的数分别为，，点E是线段的中点，
∴点E表示的数为，
∴，
∴，
∴的最小值是，最大值是．
（3）解：∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒，
∴点P表示的数为，
∵，
∴点P在原点左侧
又∵点表示的数分别为，，
∴，，线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，
∴，点在点右侧
∵，
∴，
设点表示的数为，则，
∵，
∴，即，
∴线段的中点表示的数为，
∵的长度恰好与的值相等，
∴，
解得：，
∴，
∴线段的中点Q所表示的数为．
本题考查了数轴上两点距离，线段中点的定义，解一元一次方程，去绝对值知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)去括号，乘法对加法的分配律
(2)去分母，2，等式的性质2
(3)，过程见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
（2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
（3）任选（1）或（2）的步骤求解即可．
【详解】（1）解：小刚：这是一元一次方程，求解就要将方程化为“”形式．通过观察我发现此方程中有括号，我认为应先先去括号，依据是乘法对加法的分配律，然后再通过移项、合并同类项、系数化为1就可以得到方程的解了．
故先去括号，乘法对加法的分配律；
（2）解：小红：通过观察我发现此方程中有分母，所以我认为先去分母，方程左右两边都乘以2，依据是等式的性质2，然后再通过其它的变形就可以得到方程的解了．
故去分母， 2，等式的性质2；
（3）小刚的解法：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
小红的解法：
去分母，得
移项，得
合并同类项，得
26．他的预估不正确，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设购买长跳绳x根，则短跳绳根，根据买长跳绳花费，买短跳绳花费，即可列方程，求解后根据跳绳的根数为整数，即可判断．
【详解】解：设购买长跳绳x根，则短跳绳根，
根据题意列方程，得，
解方程，得，
跳绳的根数为整数，而，
他的预估不正确．
27．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”．
（1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
28．(1)，
(2)
(3)节省了
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式．
（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小张驾车通过港珠澳大桥主桥的时间及路程；
（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
【详解】（1）∵小张驾车通过海底隧道的时间是xh，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少0.15h，
∴小张驾车通过主桥的时间是，
∵在港珠澳大桥主桥上行驶的平均速度为，
∴港珠澳大桥主桥的长度为．
故，；
（2）根据题意得：
解得：．
答：小张驾车通过海底隧道的时间是0.1h；
（3）根据题意得：
．
答：节省了31.5min．
29．(1)
(2)当时，方程的解为（或当时，方程的解为）
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）将代入原方程得，求解即可；
（2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可．
【详解】（1）解：当时，
原方程为：，
解得：，
所以该方程的解为；
（2）解：方程，
解得：，
要使为正整数，且该方程的解也为正整数，
则或，
则或，
当时，方程的解为，符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；
综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）．
30．(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
(2)②，正确解题过程见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题。
【详解】（1）第①的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。这里是等式两边同时乘以分母4和6的最小公倍数12，将分数方程化为整数方程。
（2）从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是。正确的解方程过程如下：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得收费方式
年用水量
费用/（元）
第一阶梯
含
5
第二阶梯
含
7
第三阶梯
260以上
9
志愿者
帆布袋/个
冰箱贴/个
徽章/个
总销售额/元
甲
30
0
0
600
乙
18
7
0
465
丙
21
2
11
538
丁
12
443
香港口岸→东人工岛
东人工岛→西人工岛
（通过海底隧道）
港珠澳大桥主桥
速度
96
71
90
时间
x
路程
解：去分母，得…………第①步
去括号，得……………………第②步
移项，得………………………第③步
合并同类项，得．…………………………………第④步
系数化为1，得………………………………………第⑤步