山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，作图题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共27分）
一、选择题（本题满分27分，共9小题，每小题3分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（ ）
①；②
③；④
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①不是将多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解；
②等式右边不是乘积形式，不是因式分解；
③等式右边不是乘积形式，不是因式分解；
④等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解；
故选：A．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此求解即可．
【详解】解：A、由可得，原说法错误，不符合题意；
B、由不一定可得，例如满足，但不满足，原说法错误，不符合题意；
C、由可得，原说法错误，不符合题意；
D、由可得，原说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）．
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案．
【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
5. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，②有两边分别相等的两个直角三角形一定全等；③是不等式的一个解：④所有定理都有逆定理；⑤平移和旋转都不改变图形的形状和大小
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的判定、直角三角形全等的判定定理、不等式的解的定义、真假命题的定义、平移和旋转的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：①在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该命题是假命题，不符合题意；
②两边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故该命题是假命题，不符合题意；
③是不等式的一个解：故该命题是真命题，符合题意；
④定理的逆命题不一定正确，那么这样的逆命题就不一定成为定理，故该命题是假命题，不符合题意；
⑤平移和旋转都是全等变化，不改变图形的形状和大小，故该命题是真命题，符合题意；
故选：A．
6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图：
故选∶A．
7. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，与作比较，即可作答．
【详解】解：∵关于x的不等式组
∴，得
，得
∵解集为
根据小小取小
∴
故选：C
8. 定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
故选：B．
9. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ）个

A. 2B. 4C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断③；再证明，得到，同理可证， 推出即可判断④．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵的两条角平分线和交于，
∴，
，
，故①正确；
，
如图所示，过点P作于F，于G，于H，
∴，
∴，

∴是的角平分线，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质及判定，三角形内角和定理等等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷（共93分）
二、选择题（本题满分18分，共6小题，每小题3分．）
10. 因式分解：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式﹣3xy后，再用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
【答案】13
【解析】
【详解】解：DE是AB的垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
12. 如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质可知，从B到D和A到C的平移方式一样，从而根据坐标的变化进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵A的坐标为（5，2），B的坐标为（﹣1，﹣2），C的坐标为（a，6），D的坐标为（﹣4，b）
∴根据坐标的变化可以确定从B到D的平移方式为：先向左平移3个单位，然后向上平移4个单位
∴5-3=a，﹣2+4=b
∴解得a=2，b=2
∴a+b=4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移后坐标的变化，解题的关键在于能够知道从B到D和A到C的平移方式一样．
13. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________
【答案】52
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据三角形内角和得到，由旋转的性质得，从而得，即可得到结论．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴；
即旋转角，
故答案是52．
14. 定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【解析】
【分析】根据x＝y，−1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1．
故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键．
根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标．
【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称，
的坐标为，
点与点关于点成中心对称，
的坐标为，
点与点关于点成中心对称，
的坐标为，
点与点关于点成中心对称，
的坐标为，
点与点关于点成中心对称，
的坐标为，
点与点关于点成中心对称，
的坐标为，
……，
以此类推可知，每6个点为一个循环，
，
点的坐标是：，
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
16. 已知：如图．求作：
（1）线段，D在上，将分成两个面积相等的和；
（2）作出中边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画三角形高和中线，熟知线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键．
（1）三角形中线平分三角形面积，据此可得是的中线，据此作图即可；
（2）根据垂线的作法作于E即可．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求．
三、解答题（共71分）
17. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 按题目要求解不等式或不等式组
（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
19. 如图，在中，平分，，F是的中点．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证；
（2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴的度数为．
20. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人800元．经协商，甲旅行社可给每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其他游客八折．该单位计算后发现选择乙旅行社比较划算，请问该单位可能有多少名员工参加这次旅游？（请用不等式的知识予以解答）
【答案】该单位可能有10名或11名或12名或13名或14名或15名员工参加这次旅游
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该单位有x名员工参加这次旅游，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元，据此建立不等式求解即可．
【详解】解：设该单位有x名员工参加这次旅游，
由题意得，，
解得，
∵参加旅游的人数为10至25人，
∴，且x为正整数，
∴x的值可以为10或11或12或13或14或15，
答：该单位可能有10名或11名或12名或13名或14名或15名员工参加这次旅游．
21. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下：
的最小值为4
小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
（1）下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号）
（2）若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数）
（3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．
【答案】（1）③ （2）
（3）代数式有最大值，最大值为．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键：
（1）如果两个多项式A、B满足，那么A就叫做完全平方式，据此求解即可；
（2）根据题意可知两平方项为，据此确定一次项即可得到答案；
（3）仿照题意利用完全平方公式把原式变形为，再根据偶次方的非负性即可得到答案．
【小问1详解】
解：①不是完全平方式；②不是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式，
故答案为：③；
小问2详解】
解：∵是一个完全平方式，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
，
∵，
∴，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，经一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，其中D的坐标为．
（1）平移的距离为________；
（2）请画出平移后的
（3）若为边上的一个点，平移后点P的对应点Q的坐标为________；
（4）将绕点C逆时针旋转，请画出旋转后的．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，两点距离计算公式，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案；
（2）根据点A和点D的坐标可得平移方式为向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，据此得到E、F的坐标，描出D、E、F并顺次连接D、E、F即可；
（3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可；
（4）根据所给旋转方式和网格的特点找到G、H的位置，并顺次连接C、G、H即可．
【小问1详解】
解：，，
平移的距离为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解；，，
∴先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
又∵为边上的一个点，
∴平移后点P的对应点Q的坐标为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：如图所示，即为所求．
23. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）10
【解析】
【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证；
（2）根据，得到，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键．
24. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
【答案】（1）
（2）2800元 （3）
【解析】
【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可；
（2）先根据最多投入8400元列出不等式求出，再由一次函数的性质求解即可；
（3）先仿照（1）求出，然后讨论的取值范围，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：由题意得，，
解得，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y最大，最大为，
∴商场可获得的最大利润是2800元；
【小问3详解】
解：由题意得，；
当，即时，y随x增大而减小，
∴当时能获得最大利润，
∴，
解得（舍去）；
当时，获得的利润为，不符合题意；
当时，则y随x增大而增大，
∴当时能获得最大利润，
∴，
解得；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
25. 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知和都是等腰直角三角形，且
【初步探究】
（1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明；
【深入探究】
（2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接）
【应用探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果）
【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果）
【答案】（1）；理由见详解
（2），理由见详解
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）证明 即可；
（2）过C作，证明，则，，由已知得，，由勾股定理得，进而得到．
（3）由直角三角形的性质可分别求得、，进而求得，由即可求得结果：
（4）设，则由（1）可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，，则，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，再由即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过C作，
则，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴．
（3）∵，，，
∴，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
由（2）知，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
（4）设，则，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
过点E作交延长线于点H，
，
∴，
在中，，，
∴，
∴由勾股定理得：，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键．