吉林省吉林市第三十中学校2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试（含解析）

这是一份吉林省吉林市第三十中学校2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试（含解析），共13页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 若是二次根式，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，是解决此题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数可得出答案，即可求解．
【详解】解：∵是二次根式，
∴，
∴只有D符合题意；
故选：D
2. 已知的周长为12，，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等求解即可．
【详解】解：∵的周长为12，
∴，，，
又，
∴，
∴，
故选：B．
3. 如图，正方形（阴影部分）的面积为（ ）
A. 3B. 10C. 21D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理先计算，从而可得答案．
【详解】解：如图，标注三角形的顶点，
∵，，，
∴，
∴正方形（阴影部分）面积为；
故选：C．
4. 如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A. 3.5B. 4C. 7D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案．
【详解】解：∵菱形的周长为28，
∴边长为，
∵，
∴,
∵为的中点，
∴．
故选：A．
5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：D．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】直接将三边长代入公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为4，5，7，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了学生对题意的理解和对公式的运用，涉及到了二次根式的计算，解题关键是读懂题意，正确将数值代入公式计算．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解算术平方根，先计算，再计算算术平方根即可．
【详解】解：，
故答案为：
8. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图所示，

根据题意，，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：．
9. 已知，则的近似值为_______．（结果保留小数点后两位）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查求解近似数，化为最简二次根式，先化简，再代入计算求解近似值即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
10. 如图，在正方形的外侧，作等边，则____．

【答案】##15度
【解析】
【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质及其应用．
11. 李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为_______．
【答案】24
【解析】
【分析】直接根据勾股定理求出的长，再根据=以为直径的扇形的面积+以为直径的扇形面积-以为直径的扇形面积+的面积即可得出结论．
【详解】解：在Rt中，，，，
．
．
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则，分别化简，再合并得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
13. 已知，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，因式分解的应用，先求出，，然后把因式分解为，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
14. 图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度．
【答案】长度为尺
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设的长度为x尺，则，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的长度为尺．
15. 如图，在的方格中，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上的四边形）．
（1）在图①中，以为边画一个格点，且各边边长为整数．
（2）在图②中，以为对角线画一个格点，使．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理，平行四边形的判定，熟练掌握网格特点是解题关键．
（1）根据格点特点结合平行四边形的判定，画出即可；
（2）根据题意画出，，再画出即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形为所求作的平行四边形，
，，
四边形为平行四边形，符合题意．
【小问2详解】
解：如图，四边形为所求作的平行四边形，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形为所求作的平行四边形．
16. 如图，菱形的对角线，相交于点，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，则菱形的面积为_______________．
【答案】（1）矩形，理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
（2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形的对角线，相交于点，
∴，即，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵菱形的对角线，相交于点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：24．
17. 解答下列问题．
（1）如图①，四边形是矩形，，，三点的坐标分别是，，，则点的坐标是_______________．
（2）如图②，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，求，两点的坐标．
（3）如图③，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，直接写出，两点的坐标．（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用矩形的性质求出，即可．
（2）利用菱形的性质求出，即可．
（3）利用正方形的性质求出，，即可．
【小问1详解】
解：如图1中，，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2中，四边形是菱形，
，，
，，
．，
，；
【小问3详解】
解：如图3中，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，．
18. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）9.8米；（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意得，，米，米，
在中，由勾股定理，可得：（米），
（米）．
答：风筝离地面的垂直高度为9.8米；
（2）如图，当风筝沿方向再上升12米，
所以米，
在中，，米，
由勾股定理，可得（米），
则应该再放出（米），
答：他应该再放出8米长的线．
19. “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为．
（1）小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值；
（2）已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）她站在山巅能看到大海，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
（1）将，代入即可求解；
（2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
所以此时的值为．
【小问2详解】
解：能看到，理由如下
，，
，
所以她站在山巅能看到大海．
20. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题．
（1）______________．（用含的代数式表示）
（2）当点停止运动时，的长度为______________．
（3）当四边形为矩形时，求此时的值．
（4）当时，直接写出此时的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解．
（1）根据时间乘以速度即可解答；
（2）求点停止运动时的时间，即可解答；
（3）当四边形为矩形时，，列方程即可解答；
（4）分类讨论，当四边形为平行四边形或等腰梯形，分别计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
则，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
当四边形为矩形时，，
可得，
解得；
【小问4详解】
解：如图，当四边形为平行四边形时，此时，
，
则，
可得方程，
解得；
如图，当四边形为等腰梯形时，此时，过点作交于点，
，
则四边形都为矩形，
，，
，
，，
，
，
根据，可列方程，
解得，
综上所述，或．
21. 在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
，
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：（__________）．
（2）①将化成另一个式子的平方．
②化简：．
（3）当，且，，均为正整数时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，因式分解，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键．
（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解；
（2）①仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解；
②仿照小知的方法将化为，即可化简；
（3）将等式右边化简可得，则，利用，，均为正整数即可解答．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①；
②；
【小问3详解】
解：，
，
为正整数，
，
或．
22. 再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中_______（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请直接写出图④中所有黄金矩形．
【答案】（1）；（2）四边形的形状是菱形，理由见解析．（3）图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形．
【解析】
【分析】（1）本题考查折叠的性质、正方形性质和勾股定理，利用正方形的性质得出线段和，再由折叠的性质求得线段，最后利用勾股定理即可解题．
（2）本题考查菱形的判定，利用矩形对边平行和折叠的性质，证明四边形为平行四边形，再结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可解题．
（3）本题根据题干的定义，宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，即可解题．
详解】（1）解：连接，如图③，
由题知四边形为正方形，且，
，，
又两个矩形相等，
，
．
（2）解：四边形的形状是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知，，，又图为矩形纸片，
，则，
，
，
四边形为菱形.
（3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形．
理由如下：
，，，
，则，故四边形为黄金矩形，
又，故四边形为黄金矩形．诗文：
波平如镜一湖面，半尺高处出红莲
亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边
离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲
活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据
抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……