广东省珠海部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省珠海部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 如图，，点D在边上等内容，欢迎下载使用。
1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（ME）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 两点之间，直线最短D. 以上说法都不对
6. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线D. 当时，y随x的增大而增大
8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A ①③④⑤B. ①②③⑤C. ②③④⑤D. ①②③④
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 因式分解：________________．
12. 方程根是________．
13. 函数的自变量x的取值范围是_____．
14. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____．
15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______．
三．解答题一（每小题7分，共21分）
16 计算：．
17. 如图，是等腰直角三角形，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，延长至点，使，连接．求证：．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围．
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
四．解答题二（每小题9分，共27分）
19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到0.1米）
21. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如图，，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）．
（1）若，求的长；
（2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值．
（3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由．
23. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．

（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时，
①请你以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
②求出此时杯子内液体的最大深度．
2024-2025学年第二学期九年级期中数学作业反馈
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键．根据实数大小比较原则计算即可．
【详解】解：∵，
∴这四个数中，最小的数是．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的相乘，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的相除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的相乘法则计算并判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂的相除法则计算并判定C；根据幂的乘方与积的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解
【详解】∵A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴D选项符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
4. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（ME）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，6710亿，
故选：C
5. 将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 两点之间，直线最短D. 以上说法都不对
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了直线的基本事实．根据题意得到数学依据是两点确定一条直线，据此即可得到答案．
【详解】解：将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是两点确定一条直线，
故选：A.
6. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，解答即可．
本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键．
【详解】解：∵中，
∴抛物线开口向下，
为顶点，
对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力方向与斜面平行，，
，
故选：C．
9. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正切值．
【详解】解：如图，连接．
∵和所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，，
∵为直径，
∴，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正切值转化成求的正切值．
10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A. ①③④⑤B. ①②③⑤C. ②③④⑤D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误．
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴；
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作轴于T，
同理可证明，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，故④正确；
∴，故⑤错误；
∴正确的是①②③④，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 因式分解：________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解．直接提公因式即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 方程的根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算是关键．
根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可．
【详解】解：，
∴或，
∴，
故答案为： ．
13. 函数的自变量x的取值范围是_____．
【答案】．
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
14. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握反比例函数系数与图形面积的关系是关键．
根据题意，等高，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴等高，
∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，
∴，
故答案为：4 ．
15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，分别交于点，
∵，，，
∴为中点，
∵，
∴，
∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
三．解答题一（每小题7分，共21分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数混合运算，利用绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值、负指数幂进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 如图，是等腰直角三角形，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据题意，证明即可求解．
【小问1详解】
解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
【小问2详解】
解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围．
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键．
（1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解；
（2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解．
小问1详解】
解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，；
【小问2详解】
解：方程的两个根，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
解得，，符合题意；
当时，，
∵，
∴原方程无实数，
∴舍去，
∴．
四．解答题二（每小题9分，共27分）
19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一大学的结果数，最后依据概率计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为（人）
∴选择大学的人数为，
补全统计图如图所示，
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：列表如下，
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学概率为．
20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）人进出此遮阳篷时有安全感，见解析
（2）米
【解析】
【分析】（1）过点A作于点F，通过解直角三角形，求得；比较解答即可．
（2）过点A作于点F，过点D作于点G，解直角三角形求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
【小问1详解】
解：过点A作于点F，
则，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
故人进出此遮阳篷时有安全感．
【小问2详解】
解：过点A作于点F，过点D作于点G，
根据（1）的解答，得，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
答：阴影的长米．
21. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分面积(结果保留π).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S阴影＝2－π.
【解析】
【分析】（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD；
（2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据图形的面积公式即可得到结果．
【详解】（1）连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如图，，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）．
（1）若，求的长；
（2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值．
（3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）s是t的函数,
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得，结合得，可证明，即可求得；
（2）找中点，作于，则由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，由得到，设 ，则，结合（1）可知，利用，求得，根据二次函数的性质求得的最大值，即可知的最大值；
（3）过点作，于点，，连接，则有四边形为矩形，，，，结合题意证明，有，，即可知四边形为正方形，那么，，利用勾股定理即可求得．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，找中点，作于，

由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
由（1）可知，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，
∴圆心到边的距离的最大值为；
【小问3详解】
解：s是t的函数，
过点作，于点，，连接，如图，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则四边形为正方形，
∴四边形的面积，
∵线段的长，
由勾股定理得：，
∴
∴，
那么，．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对动点知识的理解，并熟练掌握与灵活运用数形结合思想．
23. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．

（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时，
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
②求出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②杯子内液体的最大深度为．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，平移后的解析式为，则，抛物线的对称轴直线为：，连接，运用待定系数法求出直线的解析式即可求解；
（3）①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，
设杯体所在抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线解析式为，将杯子向右平移，
∴平移后的解析式为，则，
∴抛物线的对称轴直线为：，
当时，，即，如图所示，连接，
∴点的对称点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
【小问3详解】
解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，
根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴与轴的交点坐标；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，
∴，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵轴，
∴，
∴，
∴杯子内液体的最大深度为．
【点睛】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图像的平移规律，二次函数最值的计算，特殊角的三角函数值的计算是解题的关键．
甲
乙