广东省茂名市高州市十校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省茂名市高州市十校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间共120分钟，满分为120分．）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上．
1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. ax²+bx+c=0
C. (n²+1)+n=0D. mx²+3x=0
2. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
3. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y＝x﹣1B. y＝
C y＝（x﹣1）2﹣x2D. y＝﹣2x2＋1
4. 若关于x的方程有解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A B. C. D.
7. 如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体搭成，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
8. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
9. 如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （4，2）或（﹣4，2）B. （2，﹣4）或（﹣2，4）
C. （﹣2，2）或（2，﹣2）D. （2，﹣2）或（﹣2，2）
10. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上．
11. 反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为_____．
12. 如图，内接于，直线与相切于点B，若，则＝_____．
13. 如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是__________．
14. 一元二次方程的解为________．
15. 如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
17. 如图，在中，为的中点，，
（1）求长．
（2）请直接写出线段与线段之间数量关系．
18. 已知中，，，，解这个直角三角形.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）①当双曲线经过点时，求的值；
②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围．
20. 先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°．
21. 一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球概率为，求n的值．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点．
（1）求水流所形成的抛物线的表达式．
（2）小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
（3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．
23. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
2024-2025学年度第二学期第六周素养展评
九年级数学试卷
（考试时间共120分钟，满分为120分．）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上．
1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. ax²+bx+c=0
C. (n²+1)+n=0D. mx²+3x=0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可, 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可.
【详解】A. 中含有分式,故不是一元二次方程;
B.当a=0时， ax²+bx+c =0不是一元二次方程;
C. (n²+1)+n=0是一元二次方程;
D. 当m=0时，mx²+3x=0不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键.
2. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
3. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A y＝x﹣1B. y＝
C. y＝（x﹣1）2﹣x2D. y＝﹣2x2＋1
【答案】D
【解析】
【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
【详解】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
4. 若关于x的方程有解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程可得，计算即可；
详解】由题意可知，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了对一元二次方程解的理解，准确计算是解题的关键．
5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，，，，
则A、C、D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6. 二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，即可．
【详解】解：∵二次函数对于x的任何值都恒为负值，
∴抛物线开口向下，，
二次函数与x轴没有交点，
方程没有实数根，
∴，
∴．
故选择D．
【点睛】本题考查抛物线的函数值符号问题，掌握抛物线开口方向，以及抛物线与x轴的交点情况是解题关键．
7. 如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体搭成，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义．
8. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
9. 如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （4，2）或（﹣4，2）B. （2，﹣4）或（﹣2，4）
C. （﹣2，2）或（2，﹣2）D. （2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
10. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【详解】根据平行四边形的对角相等,可得∠AOC=∠B,然后根据圆内接四边形的对角互补,求得∠ADC+∠B=180°,最后由圆周角定理等量代换求得: ∠ADC+2∠ADC=180°,解得
∠ADC=60°,故答案为C.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上．
11. 反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为_____．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】将点（1，﹣2）代入，即可求解．
【详解】∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），
∴，解得k=﹣2．
故答案为-2．
12. 如图，内接于，直线与相切于点B，若，则＝_____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】先根据切线的性质可得，由可得，由此可以求出的度数，根据角的和差可以求出的度数．
【详解】解：∵直线与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线性质，圆周角定理等知识．熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周角定理是解题的关键．
13. 如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴当时， 是为矩形，
故答案为∶ （答案不唯一）．
14. 一元二次方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直接开方法解方程，利用直接开方法，求解即可．
【详解】解：
∴．
故答案为：．
15. 如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
【详解】解：
到的距离：点到的距离．
到的距离：3
到的距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出到的距离．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用直接开平方法解方程即可．
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
，
，；
【小问2详解】
解：
或，
，．
17. 如图，在中，为的中点，，
（1）求的长．
（2）请直接写出线段与线段之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线．
（1）根据含30度的直角三角形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结果；
（2）根据30度的角所对的直角边为斜边的一半，即可．
掌握30度的角所对的直角边为斜边的一半，斜边上的中线为斜边的一半，是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
18. 已知中，，，，解这个直角三角形.
【答案】∠A=30°,BC=3,AC=.
【解析】
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，利用30°角的直角三角形的性质求出BC，再利用勾股定理求出AC即可.
【详解】解：在中，，，，
，
，
.
故答案为∠A=30°，BC=3，AC= .
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关知识.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）①当双曲线经过点时，求的值；
②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①6；②且
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）①将点坐标代入解析式即可；
②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围．
【小问1详解】
解：将点，代入一次函数解析式；
得，
解得，
一次函数解析式：；
【小问2详解】
解：①将点代入反比例函数解析式，
得．
②当时，，
，
满足条件的的取值范围是：且．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
20. 先化简，再求代数式值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°．
【答案】，.
【解析】
【分析】根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可.
【详解】原式＝ .
当a＝tan60°﹣2sin30°＝时，
原式＝ ．
【点睛】本题考查分式的运算以及特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则及特殊角的三角函数值.
21. 一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求解即可．
【小问1详解】
解：如图画出树状图，
∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为
【小问2详解】
解：由题意得，
，
解得
所以n的值为5．
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点．
（1）求水流所形成的抛物线的表达式．
（2）小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
（3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．
【答案】（1）
（2）此浇水装置不能浇到古树，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意用待定系数法求解析式即可；
（2）令，解一元二次方程，求出的与5比较即可；
（3）设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，然后把代入解析式求出即可．
【小问1详解】
解：设水流所形成的抛物线的表达式为．
把点代入，得，
解得，
水流所形成的抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得（负值已舍去），
，
此浇水装置不能浇到古树；
【小问3详解】
解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变，
设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，
把，代入解析式得，，
解得，
此喷水装置需要向上移动的最小距离是．
23. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
【答案】(1)详见解析；（2）2+2．
【解析】
【详解】试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
试题解析：（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE==，
则△BDC的周长是2+2．
考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．