广东省广州市越秀区2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广东省广州市越秀区2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. B. C. D. 且
3. 若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 无法判断
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知图中的两个三角形全等，则是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
7. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作于点．若，那么的面积是（ ）
A. 10B. 16C. 24D. 32
8. 已知，，那么的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积：，则该方程的正数解为，羊羊同学按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
10. 根据下列条件，能画出唯一一个的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 用科学记数法表示数：______．
12. 方程的解是_______
13. 已知关于x轴对称的点为，则______．
14. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______．

15. 已知是的高，，，则的度数为______．
16. 如图，，，连接．给出下列四个结论：
①当时，；
②当时，平分；
③点P直线上一点，当最小时，；
④若，的面积为18，则的面积为；
其中正确是______．填写所有正确结论的序号
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．
19. 如图，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）画出关于y轴的对称图形；
（2）已知P为y轴负半轴上一点，若的面积为12，则点P的坐标为______．
20. 已知．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
21. 如图，平分，边的垂直平分线l分别交，，于点E，F，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线l，并标出点E，F，保留作图痕迹，不写作法；
（2）连接，若，求证：垂直平分．
22. 羊羊同学对教材中用图形面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在中，，，过点C作直线l，过A作于点D，过点B作于点．设，，，记四边形ADEB的面积为．
（1）用含c的式子表示的面积：______；
（2）羊羊查阅相关资料，知道．请用含a，b的式子表示S；
（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．
23. 甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
24. 如图，在中，，，点D是边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接，作关于对称的，设．
（1）当平分时，
①求的值；
②求证：；
（2）若点E与点C不重合，连接，当时，求的值．
25. 如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设．
（1）用含有a式子表示线段的长；
（2）记的面积为，的面积为，求的值；
（3）连接，当的周长最小时，求a的值．
2024-2025学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2. 若分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故选：C．
3. 若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了边形的内角和与外角和定理，先求出边形的内角和，外角和是，再根据边形的内角和与它的外角和相等得，由此解出即可．解决问题的关键是熟练掌握边形的内角和，外角和是．
【详解】解：边形的内角和，外角和是，
，
解得：
故选：B．
4. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
分两种情况：当等腰三角形腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形腰长为3，底边长为7时，
，
不能组成三角形；
当等腰三角形腰长为7，底边长为3时，
等腰三角形的周长；
综上所述：该等腰三角形的周长是17，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，多项式除以单项式，多项式乘多项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
6. 已知图中的两个三角形全等，则是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据“全等三角形的对应边相等”求解即可．
【详解】解：两个三角形全等，
，，，
∴，
故选：C．
7. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作于点．若，那么的面积是（ ）
A. 10B. 16C. 24D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，可得．再根据的面积为可得答案．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
由作图过程可知，射线为的平分线，
，
．
的面积为．
故选：B．
8. 已知，，那么的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．
将两式展开后再相减即可得到结果．
【详解】解：，
①，
，
②，
得：，
故选：A
9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积：，则该方程的正数解为，羊羊同学按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用几何方法求解一元二次方程，读懂题意、数形结合是解题的关键；根据题中求解方法及大正方形面积为100，求出m的值；再由大正方形面积可求得其边长为10，进而求解即可．
【详解】解：由图知，阴影部分面积为，即64；四个小正方形的面积都为；
则有：，即，
∵，
∴，
∴，
∵大正方形面积为100，
∴大正方形边长为10，
∴；
故选：B．
10. 根据下列条件，能画出唯一一个的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【详解】解：A、，，，能画出唯一一个，故本选项符合题意；
B、因为，所以不能画出；故本选项不符合题意；
C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 用科学记数法表示数：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 方程的解是_______
【答案】x=9
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
13. 已知关于x轴对称的点为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得a，b的值，进而得出结论．
详解】解：点与点关于x轴对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______．

【答案】220
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值．
【详解】解：
．
故答案为：220．
15. 已知是的高，，，则的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图：
，
，
，
，
是是的外角，
，
，
；
当高在等腰三角形内部时，如图：
，
，
，
，
，
，
综上所述：度数为或，
故答案为：或
16. 如图，，，连接．给出下列四个结论：
①当时，；
②当时，平分；
③点P为直线上一点，当最小时，；
④若，的面积为18，则的面积为；
其中正确的是______．填写所有正确结论的序号
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①根据已知条件得到，根据平角定义得到，故①正确；②设交于O，过A作于H，得到，求得，由，得到，求得，求得，根据全等三角形的性质得到，求得平分；故②正确；③作点A关于的对称点F，连接交于P，此时的值最小，如图，假设，得到，故不一定，故③错误；④如图，过A作于H，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故④正确．
【详解】解：①当时，即，
∵，
，
∴，故①正确；
②设交于O，过A作于H，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
平分；故②正确；
③作点A关于的对称点F，连接交于P，
此时的值最小，
如图，假设，
∴，故不一定，故③错误；
④如图，过A作于H，
，的面积为18，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
的面积为，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的除法，合并同类项，单项式乘单项式．先根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
18. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠A=∠D，
【点睛】本题考查全等全角三角形的判定与性质，是基础题．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键．
19. 如图，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）画出关于y轴的对称图形；
（2）已知P为y轴负半轴上一点，若的面积为12，则点P的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）设点坐标为，，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，△即为所求．
【小问2详解】
解：设点的坐标为，
面积为12，，
，
解得，
点的坐标为．
故答案为：．
20. 已知．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的减法法则、乘法法则把A化简；
（2）把代入化简后的式子计算，得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：当时，原式．
21. 如图，平分，边的垂直平分线l分别交，，于点E，F，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线l，并标出点E，F，保留作图痕迹，不写作法；
（2）连接，若，求证：垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）利用尺规作图作的垂直平分线l，分别交，，于点E，F，G即可；
（2）根据垂直平分线的性质和，证明，再证明，得，进而可得垂直平分．
【小问1详解】
解：如图，的垂直平分线l，分别交，，于点E，F，G，点E，F，G即为所求；
【小问2详解】
证明：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
垂直平分．
22. 羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在中，，，过点C作直线l，过A作于点D，过点B作于点．设，，，记四边形ADEB的面积为．
（1）用含c的式子表示的面积：______；
（2）羊羊查阅相关资料，知道．请用含a，b的式子表示S；
（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），见解析
【解析】
【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、乘法公式等知识，证明是解题的关键．
（1）由，，得，于是得到问题的答案；
（2）由于点D，于点E，得，则，可根据“”证明，得，，所以，
（3）由，且，，得，则
【小问1详解】
解：，，
，
故答案为：
【小问2详解】
于点D，于点E，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的面积为S，
，
【小问3详解】
，
理由：，且，，
，
23. 甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
【答案】（1）m的值为
（2）乙队更早完成施工任务，见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及分式的加减法等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．
（1）根据当时，甲队恰好6天完成任务，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙队完成施工任务需要的时间为天，根据乙队计划一半的时间每天施工千米，另一半的时间每天施工千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题意得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为4.5；
【小问2详解】
解：乙队更早完成施工任务，理由如下：
由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为天，
设乙队完成施工任务需要的时间为天，
由题意得：，
解得：，
，
，，，，
，
，
乙队更早完成施工任务．
24. 如图，在中，，，点D是边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接，作关于对称的，设．
（1）当平分时，
①求的值；
②求证：；
（2）若点E与点C不重合，连接，当时，求的值．
【答案】（1）①；②见解析
（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）①由题易得，再根据平分得到，进而利用平角性质求解；
②要证线段和差，优先考虑截长补短，过点A作，证即可得证；
（2）分类讨论：当点E在上方时可证出，此时，当点E在下方时可证出，进而得到．
【小问1详解】
解：①∵与关于对称，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
解得；
②如图，过点A作，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵与关于对称，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：①当点E在上方时，如图所示，设与交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与关于对称，
∴，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点E在下方时，如图所示，设与交于点H，
同理可得，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
综述所述：或．
25. 如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设．
（1）用含有a的式子表示线段的长；
（2）记的面积为，的面积为，求的值；
（3）连接，当的周长最小时，求a的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）可求得，进一步得出结果；
（2）作于H，作，交的延长线于点Q，可证明，从而，进一步得出结果；
（3）过点作，作，利用三角形内角和推出，结合，证明．由此得到线段关系，进而推出．在直角三角形中，根据所对直角边是斜边的一半，得出，进而算出．又已知，所以，即为的中垂线．根据中垂线的性质，得到 ，当点落在边上时，的周长取最小值．此时，根据，，推出 ，所以，即，解方程可得答案．
【小问1详解】
解：，，
，
，
；
【小问2详解】
如图，作于H，作，交BC的延长线于点Q，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小问3详解】
如图，过点作，作，
，
，
又，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
为的中垂线，
，
当点落在边上时取最小值，
此时点，，，的位置如图所示，
， ，
，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质垂直平分线的判定和性质，解题关键是作辅助线．构造全等三角形．