2025年北京丰台区高三二模数学试题及答案

这是一份2025年北京丰台区高三二模数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了 05，5小时晨跑活动；等内容，欢迎下载使用。
2025. 05
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
3．已知向量满足，且，则与的夹角为
（A） （B） （C） （D）
4．已知数列的前项和为，且满足，，则
（A）（B）（C）（D）
5．已知直线与圆交于两点．当变化时，则
（A）有最小值 （B）有最大值
（C）有最小值 （D）有最大值
6．已知关于的方程的两实根为，则“”是
“关于的不等式的解集为”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
7．已知抛物线的焦点为，准线为l．过的直线与C交于两点，过作l的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
8．如图，在棱台中，底面和
为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面
与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为
（A）18（B）
（C）（D）34
9．“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为
“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数，波源发出的光波的频率为正数，
和满足光的普遍多普勒效应公式（为波源运动速率
与光速的比值，为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用AI工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入和的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是
（A）输入和任意，运行结果显示“红移”
（B）输入和任意，运行结果显示“蓝移”
（C）输入和任意，运行结果显示“红移”
（D）输入和任意，运行结果显示“蓝移”
10．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：
①； ②； ③； ④．
其中所有正确结论的个数为
（A） （B） （C） （D）
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域为 ．
12．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为 ．
13．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件
的一个的取值为__；若在区间上有零点，则的最小值为 .
14．已知，则 ； .
（用数字作答）
15．已知数列满足，，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数，使得是常数列；
②当时，是等比数列；
③若是递增数列，则；
④若对任意的正整数，都有，则．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
在△中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求边上的高．
17．（本小题14分）
如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，
平面，，为的中点，与平面交于点．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.
18．（本小题13分）
为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值.
（Ⅰ）估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
（Ⅱ）用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
（Ⅲ）为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动.
假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知椭圆的左顶点为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若△与△的面积之比为，求的值．
20．（本小题15分）
已知函数在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，求的取值范围．
21．（本小题15分）
设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”．
（Ⅰ）判断下列数列是否为“好数列”：
①；②．
（Ⅱ）证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）；
（Ⅲ）若数列为“好数列”，求的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 12. 13. 1（答案不唯一）；4
14. ； 15. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）在△中，因为，
由正弦定理及，得
，
因为，
所以，
所以.
所以. 分
（Ⅱ）因为，，，
由余弦定理，得
，
所以.
设边上的高为，
又△的面积，
所以，
所以边上的高为. 分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）在菱形中，.
因为平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，
所以.
又四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形.
所以，所以为的中点. 分
（Ⅱ）选择条件①：
取中点，连接.
在菱形中，.
因为，
所以△为等边三角形.
因为为中点，
所以，故.
因为平面，且，平面，
所以，.
所以，，两两垂直. 如图建立空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则. 于是.
设
所以.
设直线与平面所成角为，
所以.
解得.
所以存在符合条件的点，. 分
选择条件②：
取中点，连接.
因为平面，且，，平面，
所以，，.
又，且，平面，，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为为中点，
所以.
在菱形中，，
所以△为等边三角形.
所以，故.
所以，，两两垂直. 如图建立空间直角坐标系，
则.
所以.
因为平面，
所以取平面的一个法向量为.
设
所以.
设直线与平面所成角为，
所以.
解得.
所以存在符合条件的点，. 分
18.（本小题13分）
解：（Ⅰ）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有20+10=30人，
其中近视的学生有人，
所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为. 分
（Ⅱ）设事件A=“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”.
由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为，从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为.
则.
分
（Ⅲ）. 分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意
解得
所以椭圆E的方程为． 分
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为（），
由得.
由题意，.
设，则，
解得
所以线段AT的中点为.
线段AT垂直平分线的方程为：
令得，所以.
令得，所以.
所以.
因为过点与直线l平行的直线的方程为，故
所以.
因为，
所以，整理得.
若，则，解得，故；
若，则，解得，故.
综上，或. 分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
由题意解得 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
令，解得，，．
当x变化时，，的变化情况如表所示：
所以的单调递增区间为，，
单调递减区间为，． 分
（Ⅲ）设．
设，则．
当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，．
所以恒成立．
由题意，等价于或，
解得或．
综上，的取值范围是． 分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）①是“好数列”；②不是“好数列”. 分
（Ⅱ）若是“好数列”，对满足的正整数，数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，即存在.
令
与，
于是集合和也分别是数列和数列的子列集，
又存在，得.
因此.
所以，数列也是“好数列”.
设与中较小者为，则且，
因此即，
于是，
所以存在首项不超过的“好数列”. 分
（Ⅲ）的最大值为7.
(1)先考虑.
假设存在“好数列”.
由（Ⅱ）可知，不妨设.
若，则由长为的子列集和与集合
的交集非空，知，即此“好数列”为：.
又，长为的子列集和
与集合的交集非空.
所以且，与矛盾.
若，则由长为的子列集和与集合
的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，矛盾.
(2)再考虑.
假设存在“好数列”.
由（Ⅱ）可知，不妨设.
若，则由长为的子列集和
与集合的交集非空，知.
又，长为的子列集和
与集合的交集非空.
所以且，与矛盾.
若，则由长为的子列集和
与集合的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，
此时，长为的子列集，矛盾.
所以，当时，不存在“好数列”.
又数列是“好数列”.
综上，的最大值为7. 分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
A
B
C
B
D
C
x
0
0
0
单调递减
单调递增
1
单调递减
0
单调递增