广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（解析版），共14页。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，且为正相关，
所以时，线性相关程度最强，且为正相关，
故选：A
2. 以下求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C
3. 某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）
(参考数据:若,则.
A. 134B. 120C. 116D. 110
【答案】D
【解析】依题意，，
显然，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】函数，求导得，则，
所以所求切线方程为，
即.
故选：B
5. 生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表:
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,
，
所以，解得，所以，当时，，
故选：C.
6. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A. 1.5B. 7.5C. 20.5D. 37.5
【答案】D
【解析】设答对题目个数为Y，根据题目可知，
从而由方差公式，
又.
故选：D
7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，
所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是
故选：B.
8. 现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A. 264种B. 216种C. 192种D. 144种
【答案】A
【解析】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，
用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，
因此不同涂色方法数为；
用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法，
因此不同涂色方法数为，
所以不同的涂色方案有（种）.
故选：A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示:
则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确，
对于选项C，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以选项D正确，
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为2
C. 在上是增函数
D. 若方程有2个不同的根，则
【答案】AB
【解析】因为函数，则，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故C错误；
则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确；
且，，则函数值域为，故A正确；
由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误；
故选：AB
11. 现有数字下列说法正确的是（ ）
A. 可以组成个没有重复数字的六位数
B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成个六位数
D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0，
第一步，先排首位有种不同排法，
第二步，再排其他5位数，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，
可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确；
对于B，由题意，末位只能为：0，2，4，
当末位为0时，有种排法；
当末位为2时，有种排法；
当末位为4时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误；
对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.
当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；
当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法；
当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成个六位数，故C错误；
对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：
第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，
第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，
又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，
所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________.
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由，得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
13. 在的展开式中，含项的系数为____________.
【答案】10
【解析】因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以含项的系数为，
故答案为：.
14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.
15. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式:，其中.
解：（1）
假设：疗法与疗效独立，
即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
（2）由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
则期望.
16. 如图，在正四棱锥中.
（1）求证:;
（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.
解：（1）在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，所以.
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
而，
则，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
17. 在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.
（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望;
（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
解：（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此
，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18. 设函数.
（1）当时，求在上的最大值;
（2）讨论的单调性;
（3）若，证明只有一个零点.
解：（1）当时， ,
当所以在上单调递增 ,
当所以在上单调递减 ,
所以在上的最大值为.
（2），
定义域为,
当时，，
所以 在上单调递增 .
时，时，有,
所以 在上单调递减,在上单调递增 ;
当时,在上单调递增 ,在上单调递减;
当时，在上单调递减,在上单调递增 .
（3）当时,
当时， 所以有且仅有一个零点;
时， 单调递增,,
所以 有且仅有一个零点;
时，,
所以有且仅有一个零点;
综上，时只有一个零点.
19. 若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列.
（1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由;
（2）若，证明指形数列也是凹形数列;
（3）若指形数列是递减数列,令，求使得成立的最小正整数.
解：（1）数列是指形数列.
当时，，
，
即数列是指形数列.
（2）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当，且时，
等号不成立，，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.父亲身高
166
169
170
172
173
儿子身高
168
170
171
175
176
0
1
2
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
0.15
0.10
0.05
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
35
65
100
乙
15
85
100
合计
50
150
200
0
1
2
0
1
2
3