广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合A满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则．
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题.所以否定为：.
故选：B.
3. “”是“是幂函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若是幂函数，则，得，
所以“”是“是幂函数”的充要条件.
故选：B.
4. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得扇形圆心角，扇形半径，
则扇形面积为
故选：A.
5. 已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，得，，则点的坐标为，
根据三角函数的定义，所以．
故选：B.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，
所以.
故选：D.
7. 函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由，得，
在同一坐标系中，作出和的图象，
观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数.
故选：C.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 25B. 6C. 10D. 5
【答案】D
【解析】由题意得，则
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为5．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由，，得，A正确；
当时，，B错误；
因为是增函数，，所以，C正确；
因为是减函数，，所以，D错误.
故选：AC.
10. 已知集合A，B满足，则A，B可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】，A正确．
，B错误．
由得所以，C正确．
因为，所以，D错误．
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上单调递增，则的值可以为
C. 存在，使得在上单调递减
D. 若的值域为，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题意得，得，得，A正确．
若在上单调递增，则，解得，B正确．
若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误．
若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，则，得，即．
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即．
综上，的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示）
【答案】
【解析】与角终边相同的最小正角是，即.
13. 函数单调递减区间为_____________．
【答案】（或）
【解析】由，得，因为函数在上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为．
14. 已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
所以，所以，
又，所以，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由题意得．
.
（2）
.
16. 已知函数（，且）的图象过点，．
（1）求，的值；
（2）求不等式的解集．
解：（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
（2）由（1）得，
由，得，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
17. 甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元.
（1）分别求函数，的解析式；
（2）判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由.
解：（1）在方案一中，，
在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元，
所以.
（2），
当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠；
当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致；
当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠；
综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠；
当时，甲选择方案一和方案二的消费一致；
当时，甲选择方案二更经济实惠.
18. 已知是偶函数，，且在上单调递增．
（1）比较与2的大小；
（2）求不等式的解集；
（3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为是偶函数，所以．
又在上单调递增，
所以在上单调递减，
则，即．
（2）由，得，
得，解得或，
即不等式的解集为．
（3）当时，在上单调递减，在值域为，
所以不等式不恒成立．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使不等式在上恒成立，
则，得，
得，即．
综上，的取值范围为．
19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数．
（1）已知函数．
①求的解析式；
②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论．
（2）讨论函数在定义域上的凹凸性.
解：（1）①根据题意，，
所以.
②是凹函数；
，且，
则
，
因为，
所以，
所以，
即，
故是凹函数.
（2），
则
，
因为，
所以，
所以当时，，
即，
函数在定义域上为凸函数，
当时，，
即，函数在定义域上为凹函数.